【专题突破】一类疑难问题的隐圆最简解法

一条好路,道要宽坡要缓弯要小,没必要有意设置一个90度的大弯,以致驾车人猝不及防而翻车.

同样,好题目要体现通性通法,不偏不怪,符合正常逻辑和常规思维,特别是考试题尤要如此.

选题不要一味追求新奇难,有些题平时练练思维还可以,但不适合做考试题.

解题也要考虑思路的自然和简洁,寻找数量关系和构造几何模型相结合.

凡事要有自己独立思考与取舍:哪些是好的,哪些是不好的,哪些是错误的.

这道题是某个学校的考试题,它长成下面这个样子.

这道题其实是一道不存在答案的错题.

查了一下某搜题软件,它提供的解答是错的.

解题过程中前半部分是对的,但后半部分并没有什么依据,是不成立的.如下图,PA转化为PC,CD≤PC+PD=3,CD的最大值为3.进而求OC的最大值,由OC﹣OD<CD,得OC<6,OC根本不存在最大值.

如果问题改成“当菱形ABCO面积最大时,求点B的坐标”是可以求解的.

因为点O满足OD:OC=1:2,所以点O在定圆上.这才是正宗的“阿氏圆”,即到两个定点的距离之比为定值(不为1)的点的集合是一个定圆.

解法如下:

这道题虽经改造后可解,但对于学生来说偏难,并不合适.

再看一道某校中考模拟题(第(2)小题):

参看了一下搜题软件的解答,竟然也是错的.

我给出的解法:构造辅助圆.

由定角到圆,是一个不错的联想.

因为构造辅助圆起码可以得到一个确定形状的三角形:含两条半径顶角已知的等腰三角形.

圆是全宇宙最完美的图形,它能把相关条件完美地集中转化.

再如以下一位群里老师求助的题目:

这题和前一题属于同一类型.

两位群友提供的解法:

两种解法相对比较繁琐,而且不是初中阶段常用方法.

与前同法构造辅助圆就简单多了:

再引用网上看到的一道题:

很明显,其条件特征与上题相类,都有动点和定角.

解法如下:

另一种转化:

构造辅助圆算是很多定角问题的通用方法.

辅圆一出,疑难秒解,简洁高效,顺畅优美.


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