《測圓海鏡》勾股形“山地艮”﹝11﹞之五和五較說

《測圓海鏡》勾股形“山地艮”﹝11﹞之五和五較說

上傳書齋名：瀟湘館112  Xiāo XiāngGuǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要：《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰，其書之“圓城圖式”含十四勾股形，連同原有之大勾股形共十五勾股形。此等勾股形三邊形成一系列之恆等式，本文主要談及第11勾股形山地艮五和五較相關之式。

關鍵詞：小差弦、小差股、小差勾、山地艮

《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰，書成於 1248 年，時為南宋淳祐八年。該書卷一“圓城圖式”之〈識別雜記〉主要討論與十五勾股形相關之等式，本文介紹其等式並作出証明。

本文所引用之勾股式源自“圓城圖式”之十五勾股形，a₁、b₁、c₁ 乃最大勾股形天地乾之勾、股及弦長。故 a₁、b₁、c₁ 又稱為大勾﹝地乾﹞、大股﹝天乾﹞及大弦﹝天地﹞。

《測圓海鏡》之〈右諸雜名目〉篇涉及一系列之勾股恆等式，所有恆等式皆與十五勾股形有關。十五勾股形中最大者為天地乾，其三邊勾股弦分別以a₁、b₁、c₁ 表之，其餘十四勾股形三邊勾股弦則分別以 a_i、b_i、c_i 表之，其中 1 < i ≦ 15。但 a_i、b_i、c_i 均可以 a₁、b₁、c₁ 表之，此乃《測圓海鏡》之精髓。

以下左為“圓城圖式”右為“圓城圖式十五句股形圖”。

本文談及之勾股形乃山地艮，亦即以下兩圖帶紫色之二勾股形，山地艮之斜邊“山地”是為小差弦，其直角為 11，以 11 之位置為 “艮”，其勾股與弦分別為  a₁₁﹝地艮﹞、b₁₁﹝山艮﹞ 與 c₁₁﹝山地﹞。

以下為山地艮勾股形之三事﹝三事，三邊之長也﹞：

小差勾 = a₁₁= a₁ – (a₁ + b₁ – c₁) = a₁ – a₁ – b₁ + c₁ = c₁ – b₁。

注意圓徑為 a₁ + b₁ – c₁，見上圖之東南西北圓。

小差股 = b₁₁=

=

(c₁ – b₁) 。

小差弦 = c₁₁ =

(c₁ – b₁) 。

山地艮勾股形之三事和或較亦可以以 a₁、b₁、c₁ 表之。

若勾股形之弦 = c，勾 = a，股 = b，則以下為五和五較：

(1)      勾股和：a + b

(2)      勾股較：b – a

(3)      勾弦和：a + c

(4)      勾弦較：c – a

(5)      股弦和：b + c

(6)      股弦較：c – b

(7)      弦較和：c + (b – a) ﹝較指勾股較，和指弦與勾股較之和﹞

(8)      弦較較：c – (b – a) ﹝第一較字指勾股較，第二較字指弦與勾股較之較﹞

(9)      弦和和：(a + b) + c ﹝第一和字指勾股和，第二和字指弦與勾股和之和。又稱為三事和﹞

(10)      弦和較：(a + b) – c ﹝第一和字指勾股和，第二較字指弦與勾股和之較。又稱為三事較﹞

以下為與小差弦﹝勾股形山地艮 (11)﹞有關五和五較之等式：

小差上勾股和即大勾內去虛股也。其較則圓徑內去小差弦也。勾弦和為大勾上減個小中差也﹝按小中差乃

勾弦和與半徑之較﹞。其較則虛股也。股弦共即大勾。其較則小差勾內去兩個

股也。弦較和為圓徑。其較則為兩个底弦上股弦較又為兩个

弦上勾弦和也。三事和即大勾與勾圓差共也。又為大弦大較較﹝按即通弦又上弦較較﹞。為二底勾。其較則太虛上弦較較也。

以下為各條目之証明：

小差上勾股和即大勾內去虛股也。

小差上勾股和 = a₁₁ + b₁₁ = (c₁ – b₁) +

(c₁ – b₁)

= (c₁ – b₁)(1 +

)

=

(c₁ – b₁)(a₁ + b₁)

=

(c₁a₁ – b₁a₁ + c₁b₁ – b₁²)。

已知大勾 = a₁；虛股即太虛股 = b₁₃=

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

大勾內去虛股=a₁ – b₁₃ = a₁ –

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

=

[a₁² – (c₁² –b₁c₁ – c₁a₁ + b₁a₁)]

=

[a₁² – c₁² +b₁c₁ + c₁a₁ – b₁a₁]

=

[ – b₁² + b₁c₁ + c₁a₁ – b₁a₁] 。

所以小差上勾股和 = 大勾內去虛股。

其較則圓徑內去小差弦也。

“其較”指小差上勾股較。

小差上勾股較 = – (c₁ – b₁) +

(c₁ – b₁)

= (c₁ – b₁)(

– 1)

=

(c₁ – b₁)(b₁ – a₁)

=

(c₁b₁ – c₁a₁ + a₁b₁ – b₁²)。

又已知圓徑 = a₁ + b₁ – c₁ ；小差弦=c₁₁ =

(c₁ – b₁) 。

圓徑內去小差弦=a₁ + b₁ – c₁ –

(c₁ – b₁)

=

(a₁² + a₁b₁ – a₁c₁ – c₁² + c₁b₁)

=

(a₁b₁ – a₁c₁ – b₁² + c₁b₁) 。

所以小差上勾股較 = 圓徑內去小差弦。

勾弦和為大勾上減个小中差也﹝案：小中差乃

勾弦和與半徑之較﹞。

以上乃“舊案”，依清‧李銳所云，此“案”有誤，事實上，依“案”算法不能得等式答案。

小差上勾弦和=c₁₁ + a₁₁ =

(c₁ – b₁) + (c₁ – b₁)

= (c₁ – b₁)[

+ 1]

=

(c₁ – b₁)(c₁ + a₁)

=

(c₁² + c₁a₁ – b₁c₁ – b₁a₁)。

已知大勾 = a₁ ；

勾 = a₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

勾 = c₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

圓徑 = a₁ + b₁ – c₁ ；半徑 =

(a₁ – c₁ + b₁)。

小中差

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) +

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) –

(a₁ – c₁ + b₁)

=

(a₁ – c₁ + b₁)[

(c₁ – b₁) +

(c₁ – b₁) – 1]

=

(a₁ – c₁ + b₁)[ a₁c₁ – a₁b₁ + c₁² – c₁b₁ – a₁b₁]

=

(a₁ – c₁ + b₁)[(b₁ – a₁)²– c₁(b₁ – a₁)]

=

(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ – a₁)(b₁ – a₁ – c₁)

=

(b₁ – a₁)(b₁ + a₁ – c₁)(b₁ – a₁ – c₁)

=

(b₁ – a₁)(b₁² – a₁² – c₁b₁ + c₁a₁ – c₁b₁ – a₁c₁ + c₁²)

=

(b₁ – a₁)(b₁² – a₁² – 2c₁b₁ + c₁²)

=

(b₁ – a₁)(2b₁² – 2c₁b₁)

=

(b₁ – a₁)(b₁ – c₁)

=

(b₁² – c₁b₁– a₁b₁ + a₁c₁) 。

大勾上減個小中差=a₁ –

(b₁² – c₁b₁– a₁b₁ + a₁c₁)

=

(a₁² – b₁² + c₁b₁ + a₁b₁ – a₁c₁)。

此答案不合小差上勾弦和。若改為：

大勾上加個小中差 = a₁ +

(b₁² – c₁b₁– a₁b₁ + a₁c₁)

=

(a₁² + b₁² – c₁b₁– a₁b₁ + a₁c₁)

=

(c₁² – c₁b₁– a₁b₁ + a₁c₁)。

以上答案合小差上勾弦和。即加合，減則不合。

《測圓海鏡細草》曰：

李銳案：小中差即小差弦上勾股較，舊案誤。

小差弦上勾股較為

(a₁b₁ – a₁c₁ – b₁² + c₁b₁)﹝見前﹞，此即為“小中差”。

大勾上減個小中差=a₁ –

(a₁b₁ – a₁c₁ – b₁² + c₁b₁)

=

(a₁² – a₁b₁ + a₁c₁ + b₁² – c₁b₁)

=

(c₁² – a₁b₁ + a₁c₁ – c₁b₁)。

上式等於小差上勾弦和。

所以小差上勾弦和 = 大勾上加個小中差。

其較則虛股也。

“其較”指小差上勾弦較。

小差上勾弦較 =

(c₁ – b₁) – (c₁ – b₁)

= (c₁ – b₁)[

– 1]

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

虛股即月泛股﹝又稱太虛股﹞= b₁₃ =

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

所以小差上勾弦較 = 虛股。

股弦共即大勾。

小差上股弦共=

(c₁ – b₁) +

(c₁ – b₁)

=

(c₁ – b₁)(c₁ + b₁)

=

(c₁² – b₁²)

=

× a₁²

= a₁ ﹝此即大勾﹞。

所以小差上股弦共 = 大勾。

其較則小差勾內去兩個

股也。

“其較”指小差上股弦較。

小差上股弦較=

(c₁ – b₁) –

(c₁ – b₁)

=

(c₁ – b₁)(c₁ – b₁)

=

(c₁ – b₁)²

=

(c₁² + b₁² –2c₁b₁)。

已知小差勾 = a₁₁ =a₁ – (a₁ + b₁ – c₁) = a₁ – a₁ – b₁ + c₁ = c₁ – b₁。

股 = b₁₅ =

=

(a₁c₁ – a₁² –b₁a₁ –2b₁² + 2b₁c₁)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

小差勾內去兩個

股 = (c₁ – b₁) – 2 ×

(a₁c₁ – a₁² –b₁a₁ –2b₁² + 2b₁c₁)

= (c₁ – b₁) –

(a₁c₁ – a₁² –b₁a₁ –2b₁² + 2b₁c₁)

=

(a₁c₁ – a₁b₁ – a₁c₁ + a₁² +b₁a₁ +2b₁² – 2b₁c₁ )

=

(a₁² + 2b₁² – 2b₁c₁ )

=

(c₁² + b₁² –2c₁b₁) 。

所以小差上股弦較 = 小差勾內去兩個

股。

弦較和為圓徑。

小差上弦較和 = c₁₁ + (b₁₁ – a₁₁) = c₁₁+ b₁₁ – a₁₁。

=

(c₁ – b₁) +

(c₁ – b₁) – (c₁ – b₁)

=

(c₁ – b₁)(c₁ + b₁ – a₁)

=

(c₁² – b₁² –a₁c₁ + a₁b₁)

=

(a₁² – a₁c₁ + a₁b₁)

= a₁ + b₁ – c₁ ﹝此即為圓直徑﹞。

所以小差上弦較和 = 圓直徑。

其較則為兩个底弦上股弦較。

“其較”指小差上弦較較。

小差上弦較較= c₁₁ – (b₁₁ – a₁₁)= c₁₁ – b₁₁ + a₁₁

=

(c₁ – b₁) –

(c₁ – b₁) + (c₁ – b₁)

=

(c₁ – b₁)(c₁ – b₁ + a₁) 。

底弦上股弦較 =

( a₁ –b₁ + c₁) –

(a₁ – b₁ + c₁)

=

(a₁ – b₁ + c₁)(c₁ – b₁) 。

兩个底弦上股弦較 = 2 ×

(a₁ – b₁ + c₁)(c₁ – b₁)

=

(a₁ – b₁ + c₁)(c₁ – b₁) 。

所以小差上弦較較 = 兩个底弦上股弦較。

又為兩个

弦上勾弦和也。

弦﹝見勾股形 15﹞上勾弦和，已知：

勾 = a₁₅=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

弦 = c₁₅=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

弦上勾弦和 =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) +

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(1 +

)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(a₁ + c₁)

=

(b₁a₁ + b₁c₁ – c₁² + a₁²)(c₁ – b₁)

=

(b₁a₁ + b₁c₁ – b₁²)(c₁ – b₁)

=

(a₁ – b₁ + c₁)(c₁ – b₁) 。

兩个

弦上勾弦和 = 2 ×

(a₁ – b₁ + c₁)(c₁ – b₁)

=

(a₁ – b₁ + c₁)(c₁ – b₁)。

上式與前式等，所以小差上弦較較 = 兩个

弦上勾弦和。

三事和即大勾與勾圓差共也。

小差上三事和即小差上弦和和 = (a₁₁+ b₁₁) + c₁₁ = a₁₁ + b₁₁+ c₁₁。

a₁₁ + b₁₁ + c₁₁

=

(c₁ – b₁) +

(c₁ – b₁) + (c₁ – b₁)

=

(c₁ – b₁)(c₁ + b₁ + a₁)

=

(c₁² – b₁²+ a₁c₁ – a₁b₁)

=

(a₁² + a₁c₁ – a₁b₁)

= a₁ + c₁ – b₁。

大勾 = a₁；勾圓差 = a₁– (a₁ + b₁ – c₁) = a₁– a₁ – b₁ + c₁ = c₁ – b₁。

大勾與勾圓差共=a₁ + c₁ – b₁。

所以小差上三事和 = 大勾與勾圓差共。

又為大弦大較較﹝按即通弦上弦較較﹞。

已知大弦=c₁，大弦大較較 = 弦較較 = c₁ – (b₁ – a₁)= c₁ – b₁ + a₁。

《測圓海鏡細草》作：又為大弦大較也。

所以小差上三事和 = 大弦大較較=弦較較。

《測圓海鏡細草》無以下條目：

又為二底勾。

已知底勾= a₃ = a₁ –

(a₁ + b₁ – c₁) =

(a₁ – b₁ + c₁) 。

二底勾= 2 ×

(a₁ – b₁ + c₁) = c₁– b₁ + a₁。

所以小差上三事和 = 二底勾。

《測圓海鏡細草》無以下條目：

其較則太虛上弦較較也。

小差弦上三事較= 弦和較 = (a₁₁ + b₁₁)– c₁₁ = a₁₁+ b₁₁ – c₁₁

= –

(c₁ – b₁) +

(c₁ – b₁) + (c₁ – b₁)

=

(c₁ – b₁)( – c₁ + b₁ + a₁) 。

因為太虛上弦較較 = c₁₃ – (b₁₃ – a₁₃)= c₁₃ – b₁₃ + a₁₃

太虛勾：a₁₃ =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

太虛股：b₁₃ =

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

太虛弦﹝簡稱太虛弦﹞：c₁₃ =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

c₁₃ – b₁₃ + a₁₃

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) –

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) +

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(c₁ – b₁ + a₁)

=

(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(c₁ – b₁ + a₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)²(c₁ – b₁ + a₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)[a₁ –(c₁ – b₁)]( a₁ + c₁ – b₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)[a₁² – (c₁ – b₁)²]

=

(a₁ + b₁ – c₁)[a₁² – c₁² –b₁² + 2b₁c₁]

=

(a₁ + b₁ – c₁)[ –2b₁² + 2b₁c₁]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(c₁ – b₁)。

所以小差上三事較 = 太虛上弦較較。

以下為《測圓海鏡細草》原文：