三大相关系数法

在分析指标与指标、指标与研究对象的影响程度时，很多时候会用到相关系数法，常见的三种：Pearson相关系数，Kendall相关系数和Spearman相关系数。在这三大相关系数中，spearman和kendall属于等级相关系数亦称为“秩相关系数”，是反映等级相关程度的统计分析指标。最终选择哪种相关系数法，对比结果谁更符合预期效果。

Pearson相关系数：按照大学的线性数学水平来理解, 它比较复杂一点,可以看做是两组数据的向量夹角的余弦。

常见Pearson有以下几种公式

皮尔森相关系数是衡量线性关联性的程度，公式定义为：两个连续变量(X,Y)的pearson相关性系数P(x,y)等于它们之间的协方差cov(X,Y)除以它们各自标准差的乘积(σX,σY)。系数的取值总是在-1到1之间，接近0的变量被成为无相关性，接近1或者-1被称为具有正向或者负向强相关性。

那么皮尔森适用的条件是什么呢？

• 两个变量之间是线性关系，都是连续数据。

• 两个变量的总体是正态分布，或接近正态的单峰分布。

• 两个变量的观测值是成对的，每对观测值之间相互独立。

在满足这些条件后，接下来我们来看下程序，这三种相关系数均可用corr函数实现

①当X与Y是构成一个矩阵时，关于两者相关系数程序格式为

corr(X,Y,'type','Pearson')

②当X是由多个指标数据构成的矩阵时，关于指标间相关系数程序格式为

corr(X,'type','Pearson')

以上三种公式皆等价，程序如下

X=[4.959 2.124 1.969 1.763 1.711 1.969]';Y=[1.273 1.169 0.497 1.273 1.088 0.792]';Z=corr(X,Y,'type','Pearson')运行结果：Z =    0.3715

A=[4.959 2.124 1.969 1.763 1.711 1.969    0.014 0 0.005 0.002 0.003 0.004    1.273 1.169 0.497 1.273 1.088 0.792]';B=corr(A,'type','Pearson')运行结果：B =    1.0000    0.9187    0.3715    0.9187    1.0000    0.1130    0.3715    0.1130    1.0000

Kendall相关系数：是一个用来测量两个随机变量相关性的统计值，在一个肯德尔检验是一个无参数假设检验，它使用计算而得的相关系数去检验两个随机变量的统计依赖性。肯德尔相关系数的取值范围在-1到1之间，当τ为1时，表示两个随机变量拥有一致的等级相关性；当τ为-1时，表示两个随机变量拥有完全相反的等级相关性；当τ为0时，表示两个随机变量是相互独立的。

这里有三种公式计算肯德尔相关系数：

其中C表示XY中拥有一致性的元素对数（两个元素为一对）；D表示XY中拥有不一致性的元素对数，N为元素个数。

注意：这一公式仅适用于集合X与Y中均不存在相同元素的情况（集合中各个元素唯一）

注意：这一公式适用于集合X或Y中存在相同元素的情况（当然，如果X或Y中均不存在相同的元素时，公式2便等同于公式1）

其中，C表示XY中拥有一致性的元素对数（两个元素为一对）；D表示XY中拥有不一致性的元素对数。

N1、N2分别是针对集合X、Y计算的，将X中的相同元素分别组合成小集合，Y同理，s、t表示集合X、Y中拥有的小集合数（例如X包含元素：12 3 4 3 3 2，那么这里得到的s则为2，因为只有2、3有相同元素），Ui表示第i个小集合所包含的元素数，Vi同理。

①当X与Y是构成一个矩阵时，关于两者相关系数程序格式为

corr(X,Y,'type','Kendall')

②当X是由多个指标数据构成的矩阵时，关于指标间相关系数程序格式为

corr(X,'type','Kendall')

X=[1 2 3 4 0 6 7 8 9]';Y=[3 5 7 8 9 11 13 15 16]';Z=corr(X,Y,'type','Kendall')运行结果：Z =    0.7778

A=[1 2 3 4 0 6 7 8 9    3 5 7 8 9 11 13 15 16    6 5 4 8 9 12 13 15 17]';B=corr(A,'type','Kendall')运行结果：Z =    1.0000    0.7778    0.6111    0.7778    1.0000    0.8333    0.6111    0.8333    1.0000

Spearman相关系数：Spearman等级相关系数又称秩相关系数。利用两变量的秩次大小作线性相关分析，Spearman等级相关系数用来估计两个变量X、Y之间的相关性，其中变量间的相关性可以使用单调函数来描述。如果两个变量取值的两个集合中均不存在相同的两个元素，那么，当其中一个变量可以表示为另一个变量的很好的单调函数时（即两个变量的变化趋势相同），两个变量之间的ρ可以达到+1（绝对正相关）或-1（绝对负相关）

Spearman相关系数可由以下两式计算

1、将集合x、y中的元素对应相减得到一个排行差分集合d，由排行差分集合d计算而得

2、由排行集合x、y计算而得（斯皮尔曼等级相关系数同时也被认为是经过排行的两个随即变量的皮尔逊相关系数，以下实际是计算x、y的皮尔逊相关系数）

以下是一个计算集合中元素排行的例子（仅适用于斯皮尔曼等级相关系数的计算）

这里需要注意：当变量的两个值相同时，它们的排行是通过对它们位置进行平均而得到的

适用范围：只需两个变量的观测值是成对的等级评定数据，或者是由连续变量观测数据转化得到的等级数据，不论两个变量的总体分布形态、样本容量的大小如何，都可以用斯皮尔曼等级相关系数来进行研究

公式一：

function coeff = mySpearman(X , Y) if length(X) ~= length(Y) error('两个数值数列的维数不相等'); return; end N = length(X); %得到序列的长度 Xrank = zeros(1 , N); %存储X中各元素的排行 Yrank = zeros(1 , N); %存储Y中各元素的排行 %计算Xrank中的各个值 for i = 1 : N cont1 = 1; %记录大于特定元素的元素个数 cont2 = -1; %记录与特定元素相同的元素个数 for j = 1 : N if X(i) < X(j) cont1 = cont1 + 1; elseif X(i) == X(j) cont2 = cont2 + 1; end end Xrank(i) = cont1 + mean([0 : cont2]); end %计算Yrank中的各个值 for i = 1 : N cont1 = 1; %记录大于特定元素的元素个数 cont2 = -1; %记录与特定元素相同的元素个数 for j = 1 : N if Y(i) < Y(j) cont1 = cont1 + 1; elseif Y(i) == Y(j) cont2 = cont2 + 1; end end Yrank(i) = cont1 + mean([0 : cont2]); end %利用差分等级(或排行)序列计算斯皮尔曼等级相关系数 coeff = corr(Xrank',Yrank')%fenzi = 6 * sum((Xrank - Yrank).^2); %fenmu = N * (N^2 - 1); %coeff = 1 - fenzi / fenmu; end

X=[1 2 3 4 0 6 7 8 9]';Y=[3 5 7 8 9 11 13 15 16]';Z=mySpearman(X,Y)结果：Z =    0.8333

公式二：

①当X与Y是构成一个矩阵时，关于两者相关系数程序格式为

corr(X,Y,'type','Spearman')

②当X是由多个指标数据构成的矩阵时，关于指标间相关系数程序格式为

corr(X,'type','Spearman')

X=[1 2 3 4 0 6 7 8 9]';Y=[3 5 7 8 9 11 13 15 16]';Z=corr(X,Y,'type','Spearman')运行结果：Z =    0.8333

A=[1 2 3 4 0 6 7 8 9    3 5 7 8 9 11 13 15 16    6 5 4 8 9 12 13 15 17]';B=corr(A,'type','Spearman')运行结果：B =    1.0000    0.8333    0.7667    0.8333    1.0000    0.9333    0.7667    0.9333    1.0000