19世纪几何学的革命，非欧几何如何塑造了哲学、科学、文化和艺术 / 开普饭

[遇见数学翻译小组]核心成员介绍:

YX，九零后白羊座，学过国际政治、英语、法律，喜欢游泳、网球、马拉松，崇拜卡尔维诺、米切尔恩德、陀思妥耶夫斯基，但是谁说文科生不能欣赏数学语言的简洁、逻辑性和想象力?（请各位朋友多多指教，wechat: yangxiaokm）

亚丽，一个致力于Make God Laugh的女纸——人类一思考，上帝就发笑，嘿嘿^_^

原文作者: Judith Grabiner

翻译作者: YX, 亚丽 ([遇见数学翻译小组] 核心成员)

在本文第一部分，我们看到了数个世纪以来古希腊几何学思想是如何浸透在人类思想史之中：从科学、哲学到政治、艺术。然而，19 世纪早期人类迎来了一场几何学革命，人们开始意识到空间并不必然如同古希腊欧几里得暗示的那样。本文中，我们将看到这种觉醒如何塑造了哲学、科学、文化和艺术。

▲ 欧几里得，椭圆和双曲线几何。仅对于欧几里得几何模型满足平行假设(图自维基)

欧几里德的世界

在开始之前，让我们来做一个简单的实验：想象一个平面上有一条直线 L 和直线外一点 P，穿过 P 点可作几条直线与 L 平行？

有多少条线穿过且与平行？

如果你的回答是“显然只有一个”，那么你的直觉肯定就是欧几里得式的。如果你说“很明显只有一条”那你的直觉是欧几里得式的。欧几里得对上述假设进行了证明（事实上这就是欧式几何的第五公设）。

欧几里得平面几何的五条公理（公设）是：

从一点向另一点可以引一条直线。
任意线段能无限延伸成一条直线。
给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
所有直角都相等。
若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。

但是，如果考虑在一个非平面的曲面，你会画什么样的平行线呢？下图显示了马鞍面，又称为双曲抛物面(Hyperbolic paraboloid).（译者注：双曲抛物面在笛卡儿坐标系中的方程为：，其中、、是平面直角坐标系三个坐标轴方向上的变量，、是常数）

图中这个形状表面上绘制的线是抛物面的“直线”：它们是点与点之间最短距离的路径。但请注意，红线和黄线都是蓝线的平行线，然而它们通过了同一点！而且，蓝色和黄色平行线并不是到处都等距，所以这不像你在平面上看平行线时所期望的那样。

事实证明，双曲抛物面形成了一个完美的几何空间。正是这种认识——空间不必像欧几里得和我们的直觉所暗示的那样，而是可以相反——让 19 世纪的思想家们发现了革命性的变化。卡尔·弗里德里希·高斯，正是这一事实的发现者之一，不过害怕这种理论会遭到当时教会力量的打击和迫害，没敢公开发表自己的研究成果。但是，正如数学家波恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）以及其他人所证明的那样，除了双曲抛物面以外，还有更多非欧几里得空间，包括正弯曲空间和三个或三个以上维度的空间。

接下来让我们谈谈这种认识对人类思想的影响。

空间哲学

一旦你开始思考空间的本质，你就会开始质疑空间究竟是怎样的存在？它是一个事物？某个实体？或者它是真的吗？哲学家伊曼纽尔·康德（Immanuel Kant）说，空间的概念先验存在于思想之中：当我们进行几何构建时，重要的不是我们画在纸上的形状，而是我们在心理空间中看待它们的方式。我们在我们的心理空间中命令我们的感知，并且其属性对于所有人类都是相同的。康德的空间观是欧几里得式的。常人很难想象非欧几何空间的观念，或许这也就是非欧几何空间可能看起来不像欧式几何空间那样“真”的原因。

物理学家赫尔曼·冯·亥姆霍兹说，但是我们可以感知到。例如，查看凸面镜中的反射。看一看凸面镜中的反射图像（你的车上或许就有这个玩意儿），镜中的图像是一个三维的非欧氏几何的空间。请注意示例图中原本平行的超市货架在镜中的样子（从镜子的顶部到底部），在镜中他们并不是处处等距的。在这样的空间中你能学着构建几何概念吗？你如果能用自己车上的凸面镜试着想象一下，那么就意味着你能理解非欧几何。

图片：Dean Hochman，CC BY 2.0。

你可能会说镜像仅仅是一种幻象，而只有在我们居住的真实世界，欧式几何的世界，才是切实存在的。但你真的那么肯定？镜像中远处的人看起来比实际小，但你如果用一把尺子贴到他们身上，尺子也会同等比例变小，因此在这个非欧几何的世界测量的结果和现实世界会是一致的。想象一下镜中世界的人（你自己的反射）可以同样坚持认为镜中的那个世界才是真的。这很难去辩论——赫姆霍兹说，欧式几何还是非欧几何哪一个才是真的，我们无法通过几何实验来判别。

因此，与康德的哲学理念相反，赫姆霍兹认为几何学的公设并不来自于人类的先验观念或逻辑学的必然性需要。对于他来说，空间是或不是欧式几何的关键是一个经验的问题。

这有一个更加激进的观点。亨利·庞加莱（HenriPoincaré）把非欧几何视为革命性的，但他不同意康德和赫姆霍兹。如果按照赫姆霍兹认为的，几何学是来源于经验，那么几何将不再是一门科学。而且，庞加莱意识到在我们的思想中可以存在不止一种空间。因此，几何学公设并不是一种“先验综合判断（康德所说）”，它们不是“经验的事实（赫姆霍兹所说）”，它们甚至不是必然成立的不证自明的真理（如更早的哲学家笛卡尔和拉格朗日认为的）。几何学公理，在庞加莱看来，是一种约定俗成的惯例。

因此，我们应该如何确定要使用哪些公约——欧几里得的公约，还是新的一种非欧几里得的公约？庞加莱说，我们的选择可能取决于经验，但是，只要我们避免自相矛盾，就可以随便选。“我们对这个问题——欧氏几何是正确的吗？——有什么看法？这个问题没有意义。一个几何不能比另一个更加真实；它只会更加方便。”

这是观点的革命性转变：数学不再完全符合现实，取而代之的是，我们选择的数学模型能最好地满足我们的需要。

在 20 世纪，事实证明，黎曼类型的非欧几里得几何形状实际上更为方便。因为黎曼的非欧几里得几何正好是爱因斯坦建立广义相对论所需要的。这是否意味着真实空间真的是非欧几里得的？庞加莱（Poincaré）可能会说，非欧几何只是在这里适用罢了。

空间心理学

甚至在非欧几里得几何学之前，像贝克莱主教（Bishop Berkeley，译者注：主观唯心主义者，他认为，我们对时间和空间的认知可能也只是由于我们的心灵所虚构的产物而已）一样的哲学家就指出我们看不到距离。我们所看到的是视角-我们从实际所见的角度推断出那里的几何形状。

这是有一个非常简单的例子。看一下房间的一角，天花板和两堵墙相交。

这些显然是三个角汇聚在一起。但是，如果您按实际出现的角度测量各个角度，则每个角度都大于 90 度。我们的视觉空间与我们声称看到的空间不同。

非欧几何的诞生使心理学家对此事进行了很多思考。例如，亥姆霍兹（Helmholtz）做了一个实验，要求黑暗房间里的人们将桌子上的小光点排列成两条平行的线，并逐渐向远处延伸。但是这些人从这些光点所划出的线并不平行，而是向远离观察者的方向弯曲。亥姆霍兹认为视觉空间是非欧几里得的。现在的主流观点是，视觉感知空间不能由任何一致的几何形状表示。

这些都是欧洲那边的情况。在其他文化中呢？文化语言学家史蒂文·莱文森（Steven Levinson）表明，与在外部欧几里得空间不同，处于不同文化背景的人们还有其他方式来排列自己的感知。

有些文化的确使用空间固定坐标系的思想，例如当我们说“汽车在建筑物南侧”时，就是使用四个基本方向。但是其他文化则更多地根据身体之间的关系来排列他们对空间的感知。有些人是从个人的角度出发的，例如当我们说“汽车在建筑物的右侧”时。这里没有涉及空间的想法。甚至还有一种方式，使个人不参与其中，例如当我们说“汽车在建筑物前面”时。这里，对象的固有属性定义了其位置。

▲ 在球体上，三角形的角度之和不等于180°。球体的表面不是欧几里得空间，但是在局部，欧几里得几何是很好的近似。在地球表面的一个小三角形中，角度之和非常接近180°。

在我们自己的文化中，GPS 导航系统正在将人们固有的空间直觉从一种绝对的东西变为另一种完全有关物体之间关系的东西。我曾经问过马里兰的一名出租车司机，他的 GPS 系统是否改变了他对空间的看法。他说：“是的！我曾经对整个巴尔的摩都拥有完整的地理位置感。但是现在我再也没有了。如果我想带你去某个地方，比如说，我会转出机场，走高速公路到这样的地方，等出口，然后右转。当我离开你时，我会反向一遍-左转，进入高速公路，右转进入机场，就回来了，但是-我不知道我去过哪里。”