中考题分析——对直角距离的几种思考
近几年很多城市将直角距离作为一种新定义来考察，所谓直角距离看上去是几何，本质是代数的表达，具体表现在代数的去绝对值、代数的求最值以及基本不等式的运用。
（2012无锡）对于平面直角坐标系中的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1、P2两点间的直角距离，记作d（P1，P2）．
（1）已知O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）=1，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；
（2）设P0（x0，y0）是一定点，Q（x，y）是直线y=ax+b上的动点，我们把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直线y=ax+b的直角距离．试求点M（2，1）到直线y=x+2的直角距离．
分析
满足d（O，P）=1，也就是说满足|x|+|y|=1。
解答（1）
图像如下图所示，为一个正方形（注意只能画线段，不能画成直线）
分析：
依据题目的定义，点到直线的直角距离取决于直线上的所有点到定点的直角距离的最小值，所以我们写出直线上的点到定点M直角距离的计算方式，再想办法求出最小值就行了。
解答（2）
总结：
这是笔者找到的最早的一道和直角距离相关的中考题，本质其实是去绝对值，类似的去绝对值做法北京市中考和泰州市中考都涉及过，只不过没有使用直角距离这个新概念。
（2020盐城）以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题1-4．（1）在Rt△ABC中，
，在探究三边关系时，通过画图，度量和计算，收集到，组数据如下表：（单位：厘米）
（2）根据学习函数的经验，选取上表中BC和AC+BC的数据进行分析；
设BC=x,AC+BC=y，以（x，y）为坐标，在图
所示的坐标系中描出对应的点；
连线；
观察思考
（3）结合表中的数据以及所面的图像，猜想．当x= 时，
最大；
（4）进一步猜想：若Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB=2a（a为常数，a＞0），则BC= 时，AC+BC最大．
推理证明：
（5）对（4）中的猜想进行证明．
问题1．在图
中完善
描点过程，并依次连线；
问题2．补全观察思考中的两个猜想：
问题3．证明上述
中的猜想：
问题4．图
中折线
是一个感光元件的截面设计草图，其中点
间的距离是
厘米，
厘米，
平行光线从
区域射入，
线段
为感光区域，当
的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值．
解答问题1：
（略）
解答问题2：
补全观察思考中的两个猜想：
x=2时y最大
问题3分析：
求两个直角边的和的最值，我们考虑到可以使用基本不等式或者用根的判别式来求解。
问题3解答一：
问题3解答二：
问题4分析：
考虑到刚才给出的模型是斜边为定值的直角三角形，当两直角边相等的时候，两直角边的和最大。此时只有AB是一个定值的不定线段，所以补全△PAB（如图所示），这样就把FM+FN的最大值转化为AP+BP的最大值来求解。
问题4解答：
（2019南京）【概念认识】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．
【数学理解】
（1）①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝ ．
②函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B是图象上一点，d（O，B）＝3，则点B的坐标是 ．
（2）函数y＝
（x＞0）的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3．
（3）函数y＝x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图③所示，D是图象上一点，求d（O，D）的最小值及对应的点D的坐标．
【问题解决】
（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）
分析：
第一问我们只需要读懂概念，利用概念直接求解。
解答：
分析：
根据题意可以表示出第二问的d，此时我们可以有好几种想法，比如利用一元二次方程没有实数解来解释不存在（方法一），利用Δ求解最值（方法二），或者利用基本不等式求解（方法三）。
解答方法一：
解答方法二：
解答方法三：
分析：
第三问可以认为是考察的二次函数求最值。
解答：
分析：
最后一问很有挑战性，根据刚才几问的做法，我们发现只要放在第一象限就可以忽略距离的问题（在第一象限距离就是坐标），所以令d=x+y,可以发现所谓d的最小值就是一次函数y=-x+d与y轴的截距的最小值，所以画出与景观湖相切的一次函数图像，此时的道路即为最短。
解答：
（4）
如图所示，路线MDE即为所求。
反思：
做完最后一问，反思第三问其实也可以利用直线y=-x+d和二次函数
y＝x2﹣5x+7在第一象限内相切，然后利用代数方法求解。
下面给出一道题目，大家可以试试用类似的方法来求解。
如图，在平面直角坐标系中，已知点A（6，0）B（0，2），以AB为斜边在第一象限内做直角三角形ABC，设点C坐标为（ｘ，ｙ），求ｘ＋ｙ的最大值。
反思：
给出新定义是现在考试的流行考法，对于新定义我们要弄清楚的是新的定义是我们所学的什么老知识，然后运用旧有的知识去解决问题。归根结底新定义就是新瓶装旧酒，新衣服的外表下包裹的任然是你学过的知识，需要找到题目涉及的就知识，然后用学过的知识解决问题。
最后留一道直角距离的问题给大家练练手。
城市许多街道相互垂直或平行，有时不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy．对两点M（x1，y1）和N（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（M，N）＝|x1-x2|+|y1-y2|．已知点A的坐标是（-2，1），l是过点（0，3）且平行于x轴的一条直线，P为直线l上一点．
（1）d（O，A）＝ ；
（2）若d（A，P）＝3，求点P的坐标；
（3）设原点O为快递揽收点，A为快递仓储点，直线l是一条公路，今欲在公路l上修建一个快递中转中心P，快递小哥们从点O处出发，按照“直角拐弯”的方式，将市民送来的快递运送到P处，再将从外地送来的快递运送到A处．要使快递小哥的路程最短，请确定快递中转中心P的位置，并求出最短路程．
END
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