第33讲 典型例题与练习参考解答：定积分计算相关结论与典型题分析
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第33讲：定积分计算相关结论与典型题分析
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例题与练习题
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1：计算如下定积分：
(1) ；
(2) ．
(1) ；
(2) ；
(3) ，其中 为正整数.
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) .
(常数)， 为偶函数. 证明：
(1) ;
(2) 求 .
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) .
计算积分
【注】参考解答一般仅是提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！
例题与练习参考解答
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1：计算如下定积分：
(1) ；
(2) ．
【参考解答】：(1) 由定积分偶倍奇零的计算性质和凑微分法，得
(2) 由定积分偶倍奇零的计算性质和凑微分法，得
练习2：设是以为周期的连续函数，则对任意实数 ，有
【参考解答】：由积分对区间的可加性，有
令 ，则
从而可得
因为是以为周期的函数，故 . 从而
特别，令，得
所以结论成立.
练习3：计算如下定积分：
(1) ；
(2) ；
(3) ，其中 为正整数.
【参考解答】：(1) 因为是周期为1的函数，且当时，，故由周期函数定积分的计算性质，得
(2) 由于函数都是周期为的周期函数，所以由周期函数的定积分性质，有
(3) 令，则
于是由周期函数的定积分计算性质，得
练习4：设是以为周期的连续函数，若 ，求极限
【参考解答】：周期函数的定积分性质为：在任意长度为一个周期的区间上积分相等. 因此，任意区间上的积分可以分割成长度为一个周期的整数倍区间的积分再加上一个区间长度小于一个周期长度的区间上的积分的和，即
于是有
因此可得
练习5：设在给定的积分区间上连续，证明如下等式：
【参考解答】：(1) 拆分积分区间并负代换，得
(2) 拆分积分区间并平移代换，得
(3) 拆分积分区间并平移代换，得
对第一个积分换元，则得第二个连等式成立.
练习6：计算如下积分：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) .
【参考解答】：(1) 令，则
(2) 令，则
将结果积分式与所证等式积分式相加，得
故. 综上可知所证等式成立.
(3) 【思路一】：令，则，于是得
再令，则
故，得.
【思路二】：由上可知
则
对上式第二个积分作变量代换，得
代入则抵消积分式，即
(4) 由被积函数 的结构，含有指数函数，考虑拆分积分区间并执行负代换，得
(5)【思路一】：令，则
【思路二】：令 ，则
练习7：设函数 , 为区间 上的连续函数，且
(常数)， 为偶函数. 证明：
(1) ;
(2) 求 .
【参考解答】：(1) 被积函数不变，积分区间变化，并且为积分区间的一般，于是考虑分割积分求解换元，即
令，则由为偶函数，即，上面等式中的第一个积分得
代入上面等式，并由，得
(2) 由于为偶函数，且
则由上面的结论，得
练习8：计算如下的积分值 ：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) .
【参考解答】：(1) 【思路一】 直接凑微分分部积分，得
【思路二】 直接凑微分分部积分，得
【思路三】 令，得
(2) 令，则得积分为
(3)【思路一】：令 ，则
从而得
【思路二】：令 ，则
令，则
所以，故
(4) 分割积分区间，并由负代换，得
(5) 直接负代换，令，得
故由积分变量描述符号的无关性，左右两端相加，得
练习9：设函数 是一个非负的连续函数，且满足方程
计算积分
【参考解答】：对积分作负代换，令 ，得
由定积分被积表达式符号的无关性，可得