二次函数的几何性质

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01,系数对图像的影响

a影响开口

什么!?b 的影响你没看清,我们追踪一下顶点再看看下图:

b变化时,每一个点的轨迹都与抛物线自身形状相同,且倒映在水面。。。

当顶点不在原点的时候a也是会影响位置的!

02、二次函数的高宽比

所谓“高宽比”    其实就是函数上两点之间的“铅锤高”和“水平宽”之比。在一次函数中,高宽比基本可以看做高中的斜率。初中的时候也可以适当的介绍。

初中一共学三种函数(什么?你说三角函数不算函数?)除了一次函数,还有二次函数和反比例函数,其实这三种函数的高宽比都有各自的特点。比如一次函数的高宽比就是解析式里的k,并且和所取的两点无关,也就是一次函数上任意两点的高宽比都为k(k为定值则高宽比为定值)。

今天借助GGB(GeoGebra从“0”基础到入门精通教程01-09+实操案例整合版)软件,探究下二次函数的高宽比是什么样的?

取一个顶点和其他任意点,高宽比并不是常数,根据过原点的二次函数解析式易得,高比宽方才为定值(就是二次项系数a)。并且可以推广平移至任何的二次函数图像。

如下图;注意观察,a变化但是BC/OC方始终等于a.并且可以推广平移

平移后依然成立

如果不取顶点而是任意两个点的高宽比和高/宽方,那么这两个比值都会随着点D,E的变化而变化。

如果让其中一个和顶点重合此时,再移动另一个点,比值就不会再变了,而是始终等于a.

综上我们得出结论,二次函数存在高比宽方,当其中一个点是顶点的时候,高比宽方为a(二次项系数),当两个点都不是顶点的时候,高比宽(方)的值,与两个点的横坐标有关.(到底有什么关系?其实可以设点做标计算)

03、抛物线格点

根据高宽比,可以计算出,抛物线有时候经过一些格点,这样可以快速得到点坐标:

04、宽高法求面积

其实就是割补的一种,叫做宽高法,可以选任意两点水平距离为水平宽,第三点做竖直线与刚才两点所在直线交点的距离为铅锤高。

方法1

方法2

方法3

面积求最值!!!

05、二次函数图像相似

怎么看都不像啊!

这样就像了:

06、平行弦的性质

07、抛物线恒垂直模型

这个证明略微复杂

证毕

其实只要知道特殊情况下的结论即可

08、抛物线恒平行

好了,本次内容写完了,期待下次相遇

感谢大家的支持厚爱!

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