双递推数列通项公式的求解

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开篇有益

两个数列的连环递推，我们称之为“双递推数列”，也叫“双连环递推数列”，其一般特点是：两个数列的通项由它们的首项和一般项之间相互联系，相互制约，相互依存的递推关系间接给出。双递推数列问题是前些年高考命题的一个热点，对于求其通项公式或前n项和等问题，往往需要将这两个递推关系式进行适当变形转化，将其化为等差或等比数列等形式，从而求出通项，以及求出它们的前n项和，其思想与公众号推文《做一题，归一类，得一法（八）——求通项重转化，招数用尽需归纳总体是一致的，也体现了重要的数学思想——转化与化归思想。下面通过一些具体实例来说明双递推数列通项公式的求解方法。

一、代入消元法化双数列问题为单数列问题求解

二、加减（或乘除）消元法后构造新数列求解

此法就是将题设中的两个递推式相加减（或乘除），用整体思想换元构造两个新数列（转化为等差或等比），通过解这两个新数列通项的联立方程组来求出它们的通项。

【注意】此法就是将题设中的两个递推式相加，相减。用整体思想换元构造两个新数列（转化为等差或等比），通过解这两个新数列通项的联立方程组来求出它们的通项。

【注意】此法就是将题设中的两个递推式相加减。用整体思想换元构造两个新数列（转化为等差或等比），通过解这两个新数列通项的联立方程组来求出它们的通项。

【注意】此法就是将题设中的两个递推式相加减。用整体思想换元构造两个新数列（转化为等差或等比），通过解这两个新数列通项的联立方程组来求出它们的通项。

【注意】此法就是将题设中的两个递推式相乘除。用整体思想换元构造两个新数列（转化为等差或等比），通过解这两个新数列通项的联立方程组来求出它们的通项。

三、先猜想后用数学归纳法证明

此法就是由题设中两个数列的首项及两个递推关系求出它们的第二，三，四项…，从而发现规律，进而猜想出结论，然后用数学归纳法证明。值得注意的是，在用数学归纳法证明的过程中，要把这两个数列及递推关系“捆绑”在一切证明，不能独立开来。