寻找构造⟹ 理解运用—从相似基本图形谈起（3）

上一篇我们了解了相似的一种基本图形——“子母”相似。如下图一所示，如果较大的∠ACB变成90°，那么图形就变成右边的图二的样子。

此时的图中不仅仅有△ACD∽△ABC，△CBD与△ACD、△ABC也相似，也就是说△ACD∽△ABC∽△CBD，由于图中三角形公共边较多，所以出现了三组比例中项：

过去的书上把这些叫做射影定理，现行教材中没有了这种说法，但仍然要求学生掌握△ACD∽△ABC∽△CBD。由于这个图形的特殊性——直角三角形斜边上的高，所以我们单独列出，是为相似的基本图形3。

例题：如图所示，Rt△ABC中，AD⊥BC于点D，过点B的直线BE交CA延长线于点E，CF⊥BE于F，连接DF，求证：∠BDF=∠E。

分析：

题目的条件和图形给出了射影定理的基本图形两个，结合结论要求证明∠BDF=∠E，所以考虑证明△ABE∽△DBF。

解答：

例题2:如图所示，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E是△ABC外一点，且AE=AC，点D为边AB上一点，∠AED=∠DEB，求证：CD⊥AB。

分析：

从条件入手，我们可以发现△ABE∽△AED；从图形上看，发现类似的射影定理图形，考虑到AC＝AE，我们可以通过转化来证明△ACD∽△ABC从而求解。

解答：

总结：直角三角形斜边上的高在几何中运用非常广泛，特别到初三在圆的综合题里，涉及直径、切线都会和直角三角形发生联系，如果我们能敏锐的发现其中类似的结论，就会事半功倍。

端午安康

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