寻找构造⟹ 理解运用——从相似基本图形谈起(4)

初二我们学习全等的时候,知道旋转是一种全等变换,毕竟全等是相似的一种特殊情况,今天我们主要谈谈旋转在相似中的体现。

先看初二的一道典型例题:

例题:如图,A、B、C三点在同一条直线上,分别以AB、BC为边向同一侧作等边三角形△ABD、△BCE,连接AE、CD交于点F。求证:AE=CD。

大家立刻可以在图中发现手拉手的基本模型,加上要证线段相等,需要证明全等,从而发现只要证明△ABE≌△DBC就行了。解决完问题之后,老师都会告诉大家其实△ABE可以看作是将△DBC绕点B逆时针旋转60°就行了,加深大家对旋转和手拉手的印象。换个角度,其实也可以看做△ABD绕点B顺时针旋转120°得到△EBC,只不过此时△ABD和△EBC不是全等,而是相似。

其实这就是相似中的一种基本图形——手拉手。如下图所示是图形的基本特点,题目条件为∠POQ=∠MON,其实目的是告诉你∠QOM=∠PON;同理题目告诉你∠QOM=∠PON其实目的是告诉你∠POQ=∠MON。

显然手拉手跟旋转有千丝万缕的联系。

例题一:如图,点D是△ABC内一点,点E是△ABC外的一点,且∠ABD=∠ACE,∠BAD=∠CAE,求证:∠ACB=∠AED。

分析:

从图形中很容易发现△ABD∽△ACE,很显然符合上图的手拉手基本图形,由此可以发现∠BAC=∠DAE,

结合△ABD∽△ACE可以通过证明△ABC∽△ADE来证明∠BCA=∠DEA。(如下图所示)

解答:

例题二:已知,在Rt△ABC中,∠BAC = 90°,AB = AC,点D为BC边中点.点M为线段BC上的一个动点(不与点C,点D重合),连接AM,将线段AM绕点M顺时针旋转90°,得到线段ME,连接EC.

(1)如图1,若点M在线段BD上,求∠MCE的度数.

(2)如图2,若点M在线段CD上,试探究线段AC、CE、CM之间的数量关系,并证明你的结论.

分析:

这是今年苏州市一模的一道试题,我们只讨论第一题的解法,当然由于我们这篇文章的主题,我们先从手拉手的角度来思考。题目中是存在旋转的,将线段AM绕点M顺时针旋转90°,得到线段ME ,而手拉手的旋转是角的旋转,也就是说是两条有公共端点的线的旋转,显然点M处还缺一条线,从而我们想到过M点作垂直,如下图。

仔细思考后发现向下作垂直所得到的三角形全等比较难证明,我们选择向上作垂直来解答。

解答:

分析2:

我们除了从题目中直接看到的旋转条件考虑补全旋转图形,还可以从AM、AN构成等腰直角三角形的角度考虑,连接AD,就构造出手拉手。如下图所示,只需要证明△AMD∽△AEC就行了。

解答2:

引申:

当然这道题还有其他不需要构造手拉手的方法,下面给出另外的两种路径,大家可以自行思考一下。

(方法一可以先证明△ADM≌△MHE,然后说明△CEH为等腰直角三角形)

(方法二可以先证明△ACH∽△MEH,然后证明△AMH∽△CEH)

类似这样的构造旋转手拉手,利用相似来解决问题的题目有很多,比如下面两道习题,第一道也可以构造旋转手拉手来解决;第二道有手拉手的图形 ,但需要通过相似来证明角相等,也不失为一种巧妙的考察方式。

1.如图①,在△ABC中,AB=AC=3,∠BAC=100°,D是BC的中点.

小明对图①进行了如下探究:在线段AD上任取一点P,连接PB.将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°,点B的对应点是点E,连接BE,得到△BPE.小明发现,随着点P在线段AD上位置的变化,点E的位置也在变化,点E可能在直线AD的左侧,也可能在直线AD上,还可能在直线AD的右侧.

请你帮助小明继续探究,并解答下列问题:

(1)当点E在直线AD上时,如图②所示.

①∠BEP=_________°;

②连接CE,直线CE与直线AB的位置关系是_________.

(2)请在图③中画出△BPE,使点E在直线AD的右侧,连接CE.试判断直线CE与直线AB的位置关系,并说明理由.

(3)当点P在线段AD上运动时,求AE的最小值.

2.如图①,四边形ABCD是矩形,AB = 1,点E是边BC上一动点(不与B,C重合),点F是线段BA延长线上一动点,连接DE,EF,DF,EF交AD于点G.设BE = x,AF = y,已知y与x之间的函数关系如图②所示.

(1)y与x的函数表达式为_________ ,边BC的长为_________ ;

(2)求证:DE⊥DF;

(3)是否存在x的值,使得△DEG是等腰三角形?如果存在,求出x的值;如果不存在,说明理由.

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