2019年全国Ⅲ卷高考真题分层目标训练卷（理科第21题）
高考真题分层目标训练卷（2019年全国Ⅲ卷理科第21题）
一、解答题（每小题12分,共48分）
1. （2019全国Ⅲ卷理）已知曲线
,
为直线
上的动点.过
作
的两条切线,切点分别是
,
, (1)证明:直线
过定点; (2)若以
为圆心的圆与直线
相切,且切点为线段
的中点,求四边形
的面积.
2. 【变式训练1】已知直线
经过椭圆
的右焦点
,交椭圆
于点
,
两点,点
为椭圆
的左焦点,
的周长为
. (Ⅰ)求椭圆
的标准方程; (Ⅱ)若直线
与直线
的倾斜角互补,且交椭圆
于点
、
,
,求证:直线
与直线
的交点
在定直线上.
3. 【变式训练2】已知椭圆
的离心率为
,
是椭圆
的一个焦点.点
,直线
的斜率为
. (1)求椭圆
的方程; (2)若过点
的直线
与椭圆
交于
两点,线段
的中点为
,
为坐标原点,是否存在直线
使得
,若存在求出
的方程,若不存在请说明理由.
4. 【变式训练3】已知椭圆
:
的左、右焦点分别为
,
,离心率为
,点
是椭圆
上的一个动点,且
面积的最大值为
. (1)求椭圆
的方程; (2)设斜率不为零的直线
与椭圆
的另一个交点为
,且
的垂直平分线交
轴于点
,求直线
的斜率.
高考真题分层目标训练卷（2019年全国Ⅲ卷理科第21题） 答案和解析
第1题：
【答案】见解析;
【解析】(1)当点
在
时,设过
的直线方程为
,与曲线
联立化简得
,由于直线与曲线相切,则有
,解得
, 并求得
坐标分别为
,所以直线
的方程为
; 当点
横坐标不为
时,设直线
的方程为
(
),由已知可得直线
不过坐标原点即
,联立直线
方程与曲线
的方程可得,
, 消
并化简得
,∵有两个交点∴
, 设
,
,根据韦达定理有,
,
, 由已知可得曲线
为抛物线等价于函数
的图像, 则有
,则抛物线在
上的切线方程为
①, 同理,抛物线在
上的切线方程为
②, 联立①,②并消去
可得
, 由已知可得两条切线的交点在直线
上,则有
, 化简得,
,∵
,∴
, 即
,即为
,解得
,经检验
满足条件, 所以直线
的方程为
过定点
, 综上所述,直线
过定点
得证. (2)由(1)得直线
的方程为
, 当
时,即直线
方程为
,此时点
的坐标为
, 以
为圆心的圆与直线
相切于
恰为
中点, 此时
; 当
时,直线
方程与曲线方程联立化简得
,
,
,
, 则
中点坐标为
, 由已知可得
,即
, 解得,
, 由对称性不妨取
,则直线方程为
, 求得
的坐标为
,
,
到直线
距离
,
到直线
距离
, 则
, 综上所述,四边形
的面积为
或
.
第2题：
【答案】见解析
【解析】(Ⅰ)由已知,得
,
,
,所以椭圆
的标准方程
. (Ⅱ)若直线
的斜率不存在,则直线
的斜率也不存在,这与直线
与直线
相交于点
矛盾,所以直线
的斜率存在.令
,
,
,
,
,
.将直线
的方程代入椭圆方程得:
,
,
,
同理,
. 由
,可得
,此时,
,
直线
,与直线
的交点为
,即点
在定直线
上.
第3题：
【答案】见解析
【解析】(1)由题意,可得
,解得
,则
, 故椭圆
的方程为
. (2)依题意有
为
上
边的中线,又
,所以
为直角三角形,且
为直角,
,设
的方程为
,联立
,得
,设
,则
,
即
,
,
,所以
,即
,解得
故存在直线
使得
,直线方程为
或
.
第4题：
【答案】见解析
【解析】(1)因为椭圆离心率为
,当
为椭圆
的短轴顶点时,
的面积有最大值
. 所以
,所以
,故椭圆C的方程为:
. (2)设直线
的方程为
,
与椭圆联立得:
. 设
,线段
的中点为
,
,
即
因为
,则
,所以
, 化简得
,解得
或
, 即直线
的斜率为
或
.