线段最值问题:瓜豆原理

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【问题引入】

如下图1所示,Q为OP的中点,P为线段AB上的一个动点,Q为OP的中点,当P点在线段AB上运动时,Q点的运动轨迹是什么?

【问题分析】

如下图2,当P点为于A点时,此时Q点位于OA的中点Q1;当P点位于B点时,此时Q点位于OB的中点Q2;我们发现,△OQ1Q2∽△OAB,随着Q点位置的不同,△OQ1Q2与△OAB一直相似,其本质为动态相似!

【模型建立】

此类题中,题目或许先描述的是动点P,但最终问题问的是另一个动点Q,P和Q之间存在着某种联系,从P点出发探讨Q点运动轨迹即为本文要探讨的瓜豆原理。

1、两个概念:

主动点:主动运动的点称为主动点,如上图1中的P点;

从动点:由于主动点运动而“被迫”运动的点称为从动点,如上图1中的Q点;

2、瓜豆原理成立的两个必要条件

①主动点、从动点与定点连线的夹角为定值;

②主动点、从动点到定点的距离之比是定值.

举例如下:

如下图3:,动点P在直线BC上运动,A为定点,Q为另一动点,且满足条件:

①∠PAQ是定值;

②AP:AQ是定值,

则动点Q的轨迹与动点P的轨迹一致,即:P在直线BC上动,则Q在另一直线MN上动,且△BAC∽△MAN(动态相似)。

3、核心结论

①从动点的运动轨迹与主动点运动轨迹一致,即如果主动点在直线上运动,则从动点也必然在直线上运动;如果主动点在圆上运动,则从动点也必然在圆上运动,故非常形象的称之为“瓜豆原理”。

主动点的起点、终点、定点组成的三角形与从动点的起点、终点、定点组成的三角形相似(或全等),如上图中△AMN∽△ABC。

主动点运动轨迹与从动点的运动轨迹的夹角(锐角)等于主、从动点与定点连线的夹角。如上图中∠PAQ=α。

【类型总结】---核心处理方法

Step1:找出主动点的起点和终点;

Step2:找出题中所有的定点;

Step3:验证两个必要条件,即:

①主、从动点与定点连线的夹角为定值;

②主、从动点到定点的距离之比是定值。

Step4:若Step3成立,则确定为“瓜豆原理”,进而确定从动点的起点和终点;

Step5:利用“主动点的起点、终点、定点组成的三角形与从动点的起点、终点、定点组成的三角形动态全等或相似”及“主动点运动轨迹与从动点的运动轨迹的夹角(锐角)等于主、从动点与定点连线的夹角”求解,且Step3中若②中的比值若为1,则动态全等;若不为1,则动态相似。

例题分析】

【例1】如图,在直角坐标系中,已知A(4,0),点B为y轴正半轴上一动点,连接AB,以AB为一边向下做等边△ABC,连接OC,则OC的最小值为_______。

【解析】严格按照上面整理出来的解题步骤来

Step1:主动点B的起始点为原点,终点为y轴的正半轴;

Step2:题目中点定点A(4,0);

Step3:验证瓜豆原理的两个条件:

①主、从动点与定点连线的夹角为定值,即∠BAC=60°;

②主、从动点到定点的距离之比是定值,即BC/AC=1;

Step4:满足Step3,故动点B、C之间满足“瓜豆原理”,即:B点在射线OB上动,C点也在某条射线上动,当主动点B位于起始点O时,从动点C位于如下图中D点处,故C点在射线DC上运动;

Step5:此时OC由点到直线的距离垂线段最短可知,过O点作OH垂直CD交于点H,则OH即为所求,此时主动点运动轨迹与从动点的运动轨迹的夹角∠OEH等于主、从动点与定点连线的夹角∠BAC,即∠OEH=∠BAC=60°,

【例2】如图,正方形ABCD中,AB=2√5,O是BC边的中点,点E是正方形内一动点,OE=2,连接DE,将线段DE绕点D逆时钟旋转90°得到DF,连接AE、CF,求线段OF的最小值为______。

【解析】严格按照上面整理出来的解题步骤来

Step1:主动点E是以O点为圆心,OE=2为半径的圆上运动;

Step2:题目中点定点D;

Step3:验证瓜豆原理的两个条件:

①主、从动点与定点连线的夹角为定值,即∠EDF=90°;

②主、从动点到定点的距离之比是定值,即ED/FD=1;

Step4:满足Step3,故动点E、F之间满足“瓜豆原理”,即:E点在以O点为圆心,OE=2为半径的圆上运动,F点也在某个圆上动,当主动点E位于线段OD上时,从动点F位于如下图中F’点处,从动点F在圆O’上运动;

Step5:由于Step3中若②中的比值若为1,则动态全等,即圆O’与圆O半径相等且为2,故OF的最小值如上图所示,

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