智慧、高效的小学数学课堂的生成策略---以《三角形的认识》为例
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本期内容有哪些
本期内容主要借助《三角形的认识》这一课设计片段探讨小学数学智慧高效课堂的生成策略。
（1）听一听，小学数学设计的原则和策略。
（2）读一读，智慧高效的小学数学课生成策略。
（3）想一想，数学小知识一则。
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何为智慧高效的课堂？
何为智慧高效的课堂？通过教师、学生和教材三者之间的相互对话来激发和挖掘学生智慧，在有效课堂的基础上、完成教学任务和达成教学目标的效率较高、效果较好并且取得教育教学的较高影响力和社会效益的课堂。智慧高效的课堂应是“启智、生成、主动”的课堂，培养出富有智慧、富有创新能力、勤于动手，能够在实践、反思、交流中获得知识，并能转变成智慧的学生。
史宁中教授认为实施智慧教育要求学生能够喜欢学习，热爱学习，在学习中能够感到快乐。如何让我们的课堂变得智慧高效呢？我觉得小学数学智慧高效的课堂应注重以“知”启“问”、以“问”激“动”、以“动”促“思”。下面以《三角形的认识》为例具体展开。
一、基于“知”
在“以学为中心”的小学数学课堂教学中，突显学生的主体地位非常重要。教师要基于学生的认知对课堂教学进行优化，即基于学生的认知起点、认知规律、认知矛盾、认知错误，引导学生进行数学探究、数学思考、数学表达、数学思辨。
1.基于认知起点，引导数学探究
“知己知彼，百战不殆”，这一点同样适用于数学教学。教师必须充分把握学情，了解学生的“最近发展区”，并基于学生的认知起点找准教学重点，只有这样才能够使学生准确触及新问题并展开有效探究。
例如，教学《三角形的认识》，可以对教材进行分析。
本节课三角形的内容较多，如果平均用力势必会影响三角形概念形成和三角形的高。首先，在学这课之前，学生基本会画三角形而且知道三角形有3个角、3条边等，但不会准确地描述三角形的概念。其次，学生已经知道了四边形的易变形性，同时也知道三角形不易变形，但为什么三角形具有稳定性的认识不够。所以本节课的教学任务是让学生进一步理解并概括出怎么样的图形是三角形，掌握并理解三角形高的定义和本质。难点是高的定义与本质的沟通以及作指定底边上高的技能掌握。
2.基于认知规律，引导数学思考
数学知识的教学，应当依托学生的认知规律，注重循序渐进的教学方式，准确把握学生在学习过程中的感悟与发展，全面促进学生数学技能的强化与巩固。学生只有充分理解了数学知识点，才能够对数学本质产生更深层次的领悟。
在三角形高的认识环节，设计如下：
指高——初步感悟三角形的高
画高——理解高的定义
问高——明确高与底的相对性
找高——凸显高的本质
移高——感悟特殊的高
可以设计几个层次的环节，由易到难，通过初步感悟-理解-明确-深入-再次感悟特殊的高，层层递进，符合学生的认知规律。
3.基于认知矛盾，引导数学表达
教育心理学家提出：学习的过程实际上就是学习者立足已有经验，和学习环境之间发生的相互作用以及相互适应的过程，并且在这一过程中会生成新的知识经验。因此，教师要发现学生潜在的认知矛盾，引导学生进行比较，使他们有所突破，有所发现，有所领悟，以此全面推动学生智慧高效的数学学习。
在三角形这节课中，画高环节如下：
学生画高----旋转三角形----学生找高
引导学生观察比较，在观察中发现学会了三角形的画高方法，还知道了三角形的高，并不是都是直直的下来，也可以是平的，也可以是斜的，引导学生自己归纳出三角形的高跟方向是没有关系的，只要是从顶点向它的对边画的垂线。
4.基于认知错误，引发数学思考
学生在学习的过程中经常会出现错误，对于学生的错误，如果教师只考虑“避错”，就会造成教学资源的浪费。学生的数学学习错误正是他们真实的学情，教师要基于学生的认知错误切入教学，并以此为教学资源引发学生的数学思考。
在画高的时候，学生容易出现的2种错误。
错例1：画高的时候三角尺没有与底边垂直。
错例2：画高的时候三角尺没有经过顶点作高。
因为学生对三角形高的概念建构还不完善，还没有真正把“从'顶点’向'对边’作'垂线’”理解为高的本质属性在点评几种错误时，教师始终引导学生围绕三角形高的定义进行分析。这样的分析过程，一是引导学生进一步理解高的定义，二是让一些学生产生认知冲突。在学生能够判定几种错误情况时，通过对错例的分析，让学生有一种恍然大悟的感觉。
二、始于“问”
1.以问为导—— — 整合教学时间与教学内容
一堂精彩的课，就是在规定的教学时间里让学生掌握了知识，提升了技能，拓展了思维。要做到这一点，教师在课前就要做好充分的准备，仔细研读教材，把握本课在知识体系中的地位和作用，考虑学生思维发展的特点，以问为导，使我们的教学在有限的时间内能产生最多的效益。
本节课一开始借助预学单，开始追问：
（1）哪些不是三角形？为什么？
（2）顶点可以省略吗？
两个问题看似简单，第一个明确了三角形的定义，第二个为后面高的本质作下铺垫，以问为导，不仅有侧重地安排了教学内容，而且也使教学时间更加紧凑、环环相扣，从而实现了时空的高效整合。
2.以问促思—— — 整合小组活动与独立思维
思维是行动的内在，行动是思维的外显。高效的小组活动，应让学生在活动中有目的、有计划地进行思考，尤其是易混淆的概念或命题，让学生在活动中不断与大家产生思维的碰撞，形成百家争鸣的热闹局面，让学生在这个过程中不断地完善自己。只有孩子自己经过深刻思考、区别比较、反复体会后的技能才能真正为学生自己所用。这样的教学才是高效并且具有发展意义的。
3.以问渐进—— — 整合教师引导与学生探索
高效的课堂一定有赖于高效的思维，把握好教师指导和学生自主探索之间的平衡点，才能使学生真正找到适合自己的学习方法，提升自己思维的深度和广度，最终实现高效课堂。
在把锐角三角形搬到点子图上，老师的追问逐渐深入。
（1）师：我们把刚才画的锐角三角形搬到电脑上，这个三角形的底是几，高是几？
（2）师：底是6，高是4的三角形只有这么一种形状吗？（生上台比划，课件出示）
（3）继续拉至直角三角形：高在哪里？底在哪里？
（4）继续拉至钝角三角形：有高吗？高在哪里？高在三角形外面，
（5）像这样的点找得完吗？找不完，都藏在哪里呢？这一条直线上的点，都可以。只能是这条直线吗？引出下面还有一条直线。
（6）思考：刚才老师在拉的过程中，什么变了？什么不变？预设：三角形形状变了，底不变，高的长度也不变，大小也不变。
教师通过几个具有线索性的问题来引导学生层层深入地展开讨论与探索，从而以问渐进，使课堂教学更加高效。一堂课的高效，不能仅仅体现在内容的充实、时间的紧凑上，而且要力求让学生在一堂数学课上，对某种数学思想方法有所领悟。
知识因问而深，学生因问而活，在教育教学中，我们要切问近思，培养学生善于发现、主动思考、积极探究的良好数学思维习惯，让学生逐渐养成独立思考、善于提问和发表不同看法的习惯，力求让质疑释疑成为一种学习方式，从而提高学生解决问题的能力，构建高效课堂。
三、载于“动”
美国教育家杜威提倡“让学生从做中学”，数学活动必须让学生“动”起来，通过自己动手操作，在实践中感知问题，发现问题，从而培养学生自己解决问题的能力。很多老师的课堂也设计了丰富的数学活动，但是仅仅只是为了响应课标而设计，这样的设计流于形式，没有实际的价值。要想让课堂高效智慧，它的活动应该具有以下几个特点：
1.活动的内容---以教材为线索，但要适当进行挖掘与拓展
对于活动内容的确定，一方面我们作为课程资源的使用者，我们可以直接利用教材提供的专题，也可以从教材的例题与习题中改编与延伸，深入挖掘教材所蕴含的素材。另一方面我们作为教材资源的开发者，我们还可以从生活实例，学生的学习生成资源中提炼和加工，甚至跨学科寻找素材。
本节三角形，可以借助点子图，通过多次想象指高，在操作、观察、辨析中让学生逐步清晰、掌握画高的技巧，从而形成技能。另外直角三角形与钝角三角形的高对学生来讲是个难点，通过点子图直观呈现，分散难点，突破难点，还在无形中拓展了同底等高的三角形。
2.活动的设计---强调实践与体验，但要有探索的空间
三角形的稳定性在学生脑海中有所感，但是仅仅局限于不容易变形，它的本质是给定三边长度，三角形的形状就唯一了。
在这节课中教师可以设计三个层次的活动：
（1）学生拉一拉感受三角形的不容易变形
（2）让学生观察比较，理解形状的唯一性
（3）让学生尝试让四边形变得稳定
三个层次的活动从学生的实践出发，让学生在观察中体验感悟，最后自己探索稳固的方法，保证了知识点的落实与应用。
3.活动的指导--突出学生主体，但要适度干预。
活动要以学生为主体，强调学生主动参与，乐于探究，勤于动手，要是教师要对活动内容，活动任务，活动时间对学生进行有效的指导，切勿让学生在盲目中进行，连自己此次活动的目的都不明确，只是为了活动而活动，毫无意义。
4.活动的评价--注重参与过程，但要关注方法和策略。
在活动中教师最重要的是鼓励与尊重学生的独立思考，引导学生进行合作探究，促进学生的讨论与交流，培养他们良好的思考习惯和合作意识，在讨论和交流中促进学生主动接纳别人正确的观点与方法，修正改进自己的想法，从而达到主动优化的目的。我们不能只从结论评价学生，更应该从学生的解决问题的能力，行为表现，情感体验，经验积累甚至是思维提升等多方面的进行评价。
四、拓于“思”
1.关注思考过程。
让“思考”有内涵学生要学会用数学的方式思考，必须要经历一个思考的过程方能获得经验。教师为学生提供丰富又有价值的数学活动尤为重要，让学生踏实地经历思考过程，积淀思维经验，让思考更有内涵。
聚焦矛盾，让思考有抓手。学生在遇到矛盾碰撞时会表现出心潮澎湃的状态，在解决问题时表现尤为突出，只有思考有了抓手，数学的灵感才能发挥到极致。
回到源头，让思考有根基。在数学学习中要适当回到源头，可为学生的思考提供更为广阔的空间，让学生的思考成为有源的活水，构建出灵动的数学课堂。
2.渗透数学思想。
渗透数学思想方法，并不是将其从外部注入到数学知识之中，因为数学思想方法是与数学知识的发生、发展和解决问题的过程联系在一起的内部之物。教学中不应直接点明所应用的数学思想方法，重点在于引导学生在数学活动过程中潜移默化的渗透和体验。
在三角形的认识中无形中渗透了四种数学思想。
（1）对应思想。三角形的高是有相对应的底，底与高是互相对应存在的。
（2）转化思想。从三角形的一个顶点到它对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。这段话的描述比较抽象，三角形的高其实追根究底可以转化成点到直线的距离。
（3）辩证思想。在点子图的演示过程中教师不断追问什么变了，什么没变？让学生在变的现象中去思考不变的本质，让学生在不变的本质中探索变的规律。
（4）模型思想。在最后的拓展中底不变，顶点的不断移动，从而导致高的移动，最后抽离出同底等高的三角形这个模型框架。
在学生的深度思考中，渗透数学思想方法，从而培养学生的思维能力。
我想智慧高效的课堂并不是某种特定的教学模式，也不能仅仅靠哪些教学策略就能一蹴而就的，它应该是一种教学思想，是我们课堂教学力求实现的理想目标，是我们对教学本质的深度把握，也是对我们教学实践经验的高度提升，更是对课堂建设走向的理性思考。
数学小知识
π的好朋友e
π由于其可追潮到巴比伦时期的辉煌历史而显得更具成严，而e却没有什么值得称道的历史为其添彩。常数心是年轻而充满生机的，当涉及“增长”时，它就会出现。无论是人口、金钱或其他的自然数量，它们的增长总是不可避免地会涉及e。e是近似值为2.71828的数，是一个无理数，因此，我们无法知道它的精确数值。
π和e之间的关系非常令人着迷！e的π次方和π的e次方的值非常接近，但是我们很容易证明e的π次方＞π的e次方（无需精确计算它们的数值）。如果使用计算器算一下，你会发现它们的近似值为e的π次方＝23．14069，π的e次方＝22．45916。数字e的π次方正是我们所知的盖尔范德常数（名字源于俄国数学家盖尔范德），并且已被证明了是超越的。