暑假特辑1 瓜豆，一线三等角，手拉手，GIF分析，多角度突破期末压轴题
写在前面
转眼间，八年级的期末考试又结束了，不知这次的成绩，你自己是否满意，本讲，我们重点来分析梁溪区八年级期末卷的压轴题！
试题呈现：
如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(－8，0)，直线BC经过点B(－8，6)，C(0，6)，将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转a度得到四边形OA′B′C′，此时直线OA′、直线B′C′分别与直线BC相交于点P、Q．
(1)连接AP，在旋转过程中，当∠PAO＝∠POA时，求点P坐标．
(2)连接OQ，当α＜90°时，若P为线段BQ中点，求△OPQ的面积．
(3)如图2，连接AQ，以AQ为斜边向上作等腰直角△AQM，请直接写出在旋转过程中CM的最小值．
思路分析：
(1)由∠PAO＝∠POA，可得PA＝PO，那么点P必然在AO的中垂线上，也可证△ABP≌△OCP，∴点P为BC中点，点P坐标可求．
(2)本题较难，要求△OPQ的面积，却只知道P为线段BQ中点，显然，我们要求出PQ的长，也就是BP的长，接下来怎么思考呢？
监考时，笔者的第一反应，连接BO，证△BOQ为直角三角形，则OP为斜边中线，OP＝PQ，但思路却卡在证明∠BOQ为90°上．但直觉有时很重要，精确作图后测量，发现OP＝PQ，看来OP可能的确等于OQ，到底该怎么证呢？
思路1：(参考答案)
证角等，要使OP＝PQ，则∠POQ＝∠PQO，而∠POQ＝∠C′QO，则只要证∠C′QO＝∠PQO，此时，思路打开，证明△OCQ≌△OC′Q即可．
思路2：(笔者想法)
面积法，要计算△POQ的面积，PQ可以作为底，那能否换一个思路，尝试以PO为底呢？此时，可以过点Q作PO的高，发现恰好与矩形的边A′B′相等，则问题迎刃而解．
接下来，问题转化为BP＝OP的问题，则设BP为x，用勾股定理就能解决．
过程解答：
(1)易证△ABP≌△OCP，点P为BC中点，
∴B(－8，6)，C(0，6)，∴P(－4，6)
继续分析：
(3)问有一定难度，首先，要求CM的距离最小值，点C是定点，点M的动点，那么，可以尝试找到点M的轨迹，再来讨论最小值，接下来，我们用GIF动态演示一下整个过程：
显然，点M的轨迹是一条直线，这是为什么呢？
其实，可以用这两年网络上十分流行的“瓜豆原理”来解释：
何为瓜豆原理？
简单直白的来讲，化用自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”！
(以上部分内容，摘录改编自好友公众号《广猛说题》)
但问题没结束，怎样求点M所在直线的解析式呢？
我们可以选择两个特殊位置，如起始位置，Q，C，C′重合．或当C′落在x轴上时，均可以构造一线三直角相似模型，求出两个位置下点M的坐标，从而求出解析式．最终，问题转化为求点到直线上一点的距离最小值，此时，我们可以把旋转后的矩形隐去，可以十分清楚的发现，是垂线段最短问题．
过程解答：
反思：
显然，对于初二学生来说，这样的“瓜豆原理”还是很难思考的，之后的特殊值解法也比较繁琐，有没有更一般的方法呢？
同事提醒了我，都是过点M作水平线，构造一线三等角，不妨用参数来表示点M的坐标，看看它是否在定直线上呢？事实上，通过计算，的确如此！
过程解答：
再反思：
笔者解完后，继续思考，点B的坐标是(－8，6)，也在直线y＝x＋14上，而我们知道，直线y＝x＋b，其与x轴的夹角是45°，反之，若能证明MB与x轴的夹角是45°，不就可以知道点M所在直线解析式了吗？而且直线y＝6是平行x轴的，问题就转化为证明∠MBQ＝45°了！
过程解答：
当然，到了初三，学过圆之后，我们知道，∠ABQ＝∠AMQ＝90°，则A，B，M，Q四个点必然在以AQ为直径的一个圆上，马上可得 “同弦所对的圆周角相等”，则弦MQ所对的∠MAQ＝∠MBQ＝45°．
还反思：
要证明∠MBQ＝45°还有其他做法吗？
由等腰直角三角形，你能想到什么？
MA＝MQ，∠AMQ＝90°，这不就已经满足我们熟悉的“手拉手”模型了吗？MQ可看作MA绕点M逆时针旋转90°得到，则想办法将MB绕点M逆时针旋转90°，构造一个手拉手全等．
过程解答：
小结：
本题的得分率还是很低的，思维难度逐级提升，无论是第(2)问，还是第(3)问，都需要有大胆的直觉，再小心的求证．第三问中，涉及到运动变化过程中的不变量，这就需要我们结合已有知识，模型去解题．
初二已是尾声，初三就在眼前，希望每位同学都能充实的度过这个暑假，为初三一整年的努力打下扎实的基础．
当然，这两天考完了，同学们还是可以放松下的，这不，好电影为你推荐好了！
END
如
何
关
注
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