等差乘等比型数列的另解——导数法

对于等差乘等比型数列前n项和而言，很多老师在教学时惯用的方法为错位相减法，但错位相减法计算量大，化简繁琐，极易出错。为了避免这种繁琐出错，我曾经在公众号2016年5月25日发表的《你还在为“错位相减”头痛吗？》和2017年9月27日发表的《等差乘等比的裂项方法》分别选择了“错位相减”的替代。

在前段时间遇见的一道题中，突然间又有了新的思路，新的解决等差乘等比数列求和的新方法。给我思路的是这样的一道题：

对于这一道题，我首先想到的是错位相减，解析如下：

当然这个化简过程，我是借助于公式“化简”的，参照2016年5月25日发表的《你还在为“错位相减”头痛吗？》。

当然还有另一种解法：

以上裂项方法和思路参考2017年9月27日发表的《等差乘等比的裂项方法》。

这是特殊形式，接下来，我们来看一般形式：

单就解题过程来看，这种方法不是最佳的方案，但是从某一方面体现了导数解决传统数学问题的工具性价值，赋予了一些传统问题新的背景，新的内涵。

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