穿越迷雾森林接近思维的圣殿——弗赖登塔尔《作为教育任务的数学》读书笔记之五

第九章  教学

1.理想是比同代人看得更远的现实。理论家的理想主义加上权威，往往导致教学的尴尬。现实中极少有教师站出来反对理论家的权威。

昱见：教师的这种逆来顺受与“尊重”可能无关，也可能与“权威”无关，而与“理解”有关，即教师囿于自身的知识结构和理论素养而并没有充分理解正在发生的现实，那些由理论权威和政客发起的教改到底是什么？或者我们已经习惯“执行”，而非“质疑”。这是最大的危险。

应该说，弗赖登塔尔对教学实践的了解出乎我的预料，他比其他知名教育家更了解真实情况，也不那么自以为是，且具有广博的视野。

2.再创造方法呼唤有别于传统课堂的教学模式，有个实验室或混合班供学生单独或小组学习，教师在其中观察学生活动，必要时介入，做补充的是教师与大组之间的互动。学生在其中进行循序渐进的再创造。

第十章  数学教师

1.教师应该拥有怎样的知识与技能？或者说应该为教学工作做好怎样的准备？——所教专业的所教内容？多一点？多多少？中学数学与大学数学之间有个裂缝，还会有两个忘却，即在大学学习时忘却中学数学，回中学教数学时又忘却大学数学。克莱因提倡“高观点下的初等数学教学”。

2.弗赖登塔尔（中学）数学教师培训的最低要求：教师非常自信地使用现代数学的基本方法；理解现代数学结构必需的基本知识；如何应用数学的某些概念；如何进行数学研究的初步知识。

昱见：弗赖登塔尔对中学数学教师培训的下限要求，第一条是数学观，第二条是数学的基本知识，第三条是数学的应用观念，第四条是数学的研究方法。当然没有提及教学法，他主张在做中学习，我赞同。今天我们有PCK。

第十一章  数的概念——客观的形成途径

1.数的概念：计数的数，数量的数，度量的数，计算的数。

计数的数：序数；数量的数：基数；度量的数：有关度量；计算的数：有关算法。

2.计数的数：数的序列是数学的基石。儿童在写数中对记数法和无限的发现。计数后是简单计算，加法是计数的继续，减法是往回计数。单纯计数——单纯用完全归纳法——有意识地形式化——以公理化嵌入集合论

3.数量的数：用势来直接认识和比较数，而不只是计数。而它，数量数，即势，并非自然数的基础。

教科书中过分强调数的基数侧面，且没有系统的计数，从而使数数变成枯燥乏味的活动。弗赖登塔尔建议将加看作继续数，将减看作往回数。

昱见：我在张奠宙先生的著述里见过类似的主张，而弗氏明确指出这也是皮亚杰的错漏。而我作为皮亚杰的读者在获得更好的儿童心理学之前绝不会轻易相信对皮亚杰研究成果的诋毁。

4.度量的数：对集合的度量就是数量数，度量需要标准，度量的结果是数。测量结果得到有限十进小数，而非普通分数，后者是除法的结果。

昱见：这一段是否符合数学史？如果符合，那么我见过有位名师要创新性地用测量活动引入分数的初步认识，如此教学好吗？我不是在批评某些名师，我知道他们的研究也十分深入，但是可能缺乏一种整体的视野，像克莱因或弗赖登塔尔这样的数学的整体性观念，这种观念不是仅凭后来的努力就可以拥有的。有时候我在“创意”课堂的判定方面出现困难，创意不是“异想天开”，它也需要扎实的基础，面对五花八门的创意有一种炫目的严重怀疑，它们中有很多更像没有根基的大棚瓜果，看起来很美，却没有多少营养和嚼头。警惕之！然后，更重要的是怎么避免错误？广泛的阅读与学习，不停的思考，谦卑之心，对，在教学和数学面前永怀谦卑之心。

5.所有量中最数学化的是长度，我们把它作为量的模型。而数轴是数的模型，也是最好的教学工具。数的加减——数轴的移动和映射，数的乘除——数轴上单位的放大和缩小。

昱见：数形结合方面，我们用于乘除法的，更多是面积模型，而极少想到用数轴！这里是有道理的。

6.证明一个存在性需要用到另一个存在性做前提。

昱见：怎么理解克莱因的“高观点下的初等数学”？抛开教学的视角，可否理解成对数学的再认？打个比方，在你很小的某个时候，遇到一件特别重要特别困扰你的问题，你深受其苦，百般纠结；很多年后，你已经成年，经历过多得多的事情，你的思想已经成熟；这时候再想起小时候的这个问题，是不是有不一样的看法不一样的心境，你觉得是超越了那个小问题，站在高处俯视它，并且能轻而易举地看清它的全貌，这时候你会用与当初完全不一样的措辞来描述它，而完成对它的再认。数学上，大学毕业后你再来思考小学时学习的自然数，同样的一个数，在你眼里已经不一样了。还是初等数学，但你有了高观点。深入浅出一直是我们的圣殿。

7.计算√2的方法，欧几里得算法，无限逼近正方形法。

8.计算的数，笔算和机器（非自动计算机）算术在算法上有很大不同。比如，算乘法，机器是连续加，人用乘法表；算除法，机器是连续减，笔算就复杂了；机器可以同时在各处相加，人不行。计算机出现后，二进制人不一定可以适应。位值制的重要性。

9.由等分和测量引入分数，对分数的直观性有利，但是实际情况是测量产生的是小数并非分数，分数是由除法产生的，并且可以放入代数中。反对者会抗议这样做分数的直观性没有了，但是关于分数的直观性是否真实存在都是个疑问呢！

10.数域的扩展与运算律的持续。

昱见：从第十一章开始，进入数学内部知识偏重的部分，少不了高数知识，便进入朦胧的迷雾森林，我虽看不清那些树木，但我确信它们的存在，并感知它们的存在。数学是人类思维的圣殿。