2020普林斯顿数学竞赛 (PUMAC) 代数A 组 中文翻译

这个考试本应于2020年12月初举办，由于疫情推迟至2021年3月进行。

代数 A 组

1.函数满足 ,其中为实数. 若的最大值为, 其中为互素的正整数, 求的值.

2.设 表示所对应的曲线. 点,   共线, 且都在曲线上. 已知为有理数, 求 .

3.设 表示实数的小数部分. 考虑函数, 使得对任意实数, 存在使得. 若正整数满足 , 且存在满足上述条件的函数, 使得 , 就称为"有效的". 求所有有效的所对应的之和.

4.已知为首一的次多项式, 其根为 . 而为首一的次多项式, 其根为 ,其中.已知,   可以表示为 ,其中为互素的正整数, 求.

5.实数列 满足, 对任意正整数\ 求最小的正整数, 使得.

6.给定整数, 设表示所有形如的复数所组成的集合, 其中为任意实数, 为满足 的有理数. 多项式的次数不少于, 且存在非常数的函数 , 使得 对任意 .成立.
时, 若为次数最低的使得存在的唯一首一多项式, 求 .

7.已知为次数最低的唯一的有理系数首一多项式, 使得它的一个根为 设, 其中为互素的整数, 求.

8.对正整数, 已知互异的三个一一映射 满足, 其中任意两个函数的复合函数即为第三个函数. 设表示满足以上条件的函数组的个数(不考虑顺序).
求中不超过的最大值,

译者注: 显然地,我不会翻译代数B组.