【一题十解】解题大赛结果整理
题1
如图，四边形ABCD内接于⊙O，若AB·DE=AD·BE， 求证：BC=CD．
原型
如图，AD是△ABC的内角平分线，求证：AB/AC＝BD/CD ．
法一
无辅证法：
先证明△ABE∽△DCE，△ADE∽△BCE，
得AB/DC＝AE/DE，AD/BC＝AE/BE，
两式子相除得，AB·BC/DC·AD＝BE/DE，
则AB·DE·BC＝AD·BE·CD，
因为AB·DE＝AD·BE，
所以BC＝CD．
点评：此方法为大家常用的方法之一，在圆中，大家容易想到相似．
法二
角平分线的判定：
由条件AB·DE＝AD·BE，
和面积公式
S△ABE/S△ADE＝BE/DE＝AB·EF/AD·EG，
得AB/AD＝BE/DE，
所以EF＝EG，
所以∠BAE＝∠DAE，
所以BC＝CD．
点评：利用三角形的面积公式，得到对应边的比例关系，再利用角平分线的判定来证明．
法三
面积公式：
S△ABE＝1/2AE·BF=1/2AE·BE·sin∠BEF
＝1/2AB·AE·sin∠BAE，
S△ADE＝1/2AE·DG＝1/2AE·DE·sin∠AED
＝1/2AD·AE·sin∠DAE，
所以BE·sin∠BEF/AD·sin∠DAE＝DE·sin∠AED/AB·sin∠BAE，
因为AB·DE＝AD·BE，∠BEF＝∠AED，
所以∠BAE＝∠DAE，
所以BC＝CD．
点评：此法甚妙，该方法间接证明了三角形的面积公式
S＝1/2ab·sin C＝1/2ac·sin B＝1/2bc·sin A．
法四
根据S△ABE＝1/2BE·AH＝1/2AB·AE·sin∠BAE，
S△ADE＝1/2DE·AH＝1/2AD·AE·sin∠DAE，
得BE/DE＝AB·sin∠BAE/AD·sin∠DAE，
根据条件AB·DE＝AD·BE，
所以sin∠BAE＝sin∠DAE，
则BC＝CD．
点评：本题仍然为面积公式得到边长的比例关系．
法五
作平行线：
过点E作EF∥AB，
得BE/ED＝AF/FD，
根据条件AB·DE＝AD·BE，
得AE＝EF，
所以∠BAE＝∠AEF＝∠EAF，
所以BC＝CD．
点评：平行线＋等腰得角平分线．
法六
法七
法八
法九
法十