解析法——研究平面几何（向量）问题利器

平面几何是研究平面上的直线和二次曲线（即圆锥曲线，就是椭圆、双曲线和抛物线）的几何结构和度量性质（面积、长度、角度）。平面几何采用了公理化方法， 在数学思想史上具有重要的意义。初中学习的几何就是公理化方法的几何，问题求解往往要巧妙地添置辅助线构造关系，难度很大难以捉摸，但一经想出便可很方便得解。

解析几何（Analytic geometry），又称为坐标几何（Coordinate geometry）或卡氏几何（Cartesian geometry），早先被叫作笛卡儿几何，是一种借助于解析式进行图形研究的几何学分支。是高中阶段学到的典型的数与形结合的思想方法。解析几何通过建立平面坐标系（一般有直角坐标系或极坐标系），用有序数对表示点，用二元方程表示曲线，然后对方程进行代数研究从而得出问题的解，此即为解析法，又称坐标法。但是有时往往运算量很大，甚至于无法运算（当然随着计算机的不断更新，很多人类无法运算的问题计算机都能实现），所以同学们可能觉得解析几何很难。

“解析法”是解决“复杂”平面几何问题有效方法

例一.2018春考第16题

【分析】有题意线段PQ的运动是因P的运动而动，因此解决此题重点分析P点的运动轨迹即可，这里用纯几何方法可能就不好办了，解析法便可方便得解，如下图示点P的轨迹是线段x=3(-4y4)，线段PQ绕原点A旋转形成的两个对顶等腰三角形，一个底边长为8高为3另一个底边长是16高为6，所以其面积S=1/2*3*8+1/2*6*16=60,故选B。

正因如此，所以解析几何题目思路大都差不多，很容易学会掌握。同学们只要敢想敢做一般都能解决，但是困扰同学们的烦恼就是代数运算和代数推演。如何来破解这个难点呢？

1.结合几何推理化解繁复的代数运算

例二.2018春考第12题

【分析】如图建立直角坐标系，由题意设经过t秒点P、Q到达如图位置，P、Q的坐标分别是(-10,1.5t-10)、(10,10-t)（0≤t≤40／3)，写出Ｐ、Ｑ所在直线方程，盲区临界点是直线与圆相切，列出方程即可解出。但是真正去实施这个解题计划会发现运算量很大，至此有的同学就会放弃。其实碰到这种情况，而且问题又是直线和圆的问题（因为初中学过的知识），那么我们就该思考下几何关系。如图ΔAPE∽ΔCQE,因为AP:CQ=3:2所以AE：CE=3:2从而的E（2,2），那么直线PQ方程为y-2=k(x-2),与圆相切可方便求出k的值为（4-√7）/3（“+”舍），而此时直线PQ交BC于点Q的纵坐标是2+8k，t=10-(2+8k)，将k的值代入得t≈4.4。

2.设而不求

“设而不求”是通过设点（交点）坐标，进行分析以化解繁复运算，最终设法消去（韦达定理或整体代入）所设，从而解决问题的解题套路。

例三.2017春考第20题