2021印度国家数学奥林匹克(INMO)-中文翻译

本次考试共6题,满分102分,考试时间4小时.

1.对正整数, 已知存在个整数 , 使得对任意满足的整数成立.求可能的最大值.

2.求所有整数组, 使得以下两个三次多项式

与

的所有根均为整数.

3.贝塔尔在平面上作了个点,其中任意三点不共线. 随后, 他将这2021个点之间所有可能的线段连结起来. 随后, 他在其中任选了个线段, 作它们的中点. 随后, 他找出一个没有作过中点的线段, 要求维克拉姆作出其中点, 但贝塔尔只允许维克拉姆使用一把没有刻度的足够长的直尺. 维克拉姆能否保证自己一定完成贝塔尔的要求?

4.魔术师和侦探决定玩一个卡片游戏. 魔术师将张写有数字到的卡片正面朝下放置在桌子上.随后, 在每一步中, 侦探可以任选两张卡片,并询问魔术师这两张卡片上的数字是否为梁旭的正整数. 魔术师保证如实回答问题. 经过有限步之后, 侦探需要指出两张卡片. 若这两张卡片上的数字为连续的正整数, 则侦探获胜, 否则魔术师获胜.
证明: 当且仅当侦探可以询问次以上时, 侦探有必胜策略.

5.凸四边形中,  , , 且 .延长与外接圆交于点.
求证: .

6.设 表示实系数多项式集. 求满足以下条件的所有映射 :
对零多项式, 将之映射到其自身;
对任意非零实系数多项式, ;
对任意两个实系数多项式 ,多项式 与 的实根完全相同.