2021韩国数学奥林匹克 决赛 中文翻译（重发）

补上了之前暂缺的第三题。是个非常漂亮的图论。

第一天

1.锐角中, 外心为, 内心为. 过作的垂线与分别交于点. 过作 平行线, 过作平行线, 两者交于. 设外接圆为, 其圆心为. 已知与再次交于点. 求证: 共线.

2.给定整数.若存在一对正整数, 满足如下两个条件:

求证: 满足以上条件的正整数对有无穷多个.

3.设为一群人组成的集合. 已知中任意一个人至多认识个中的人.(认识关系是相互的).对中个人组成的集合, 若其中任意两个人互相不认识, 则称是一个元独立集. 已知(不一定互异)均为的元独立集.

求证: 存在一个的元独立集,使得存在整数,满足

第二天

对()个非空集合, 证明存在满足如下条件的个集合:

对任意,
对任意, 存在集合 (), 使得

5.内心为, 点所对旁心为. 点到的垂足分别为. 直线与交于点. 的外心为. 证明: 若在的内切圆上, 则的外接圆与点所对的旁切圆相切.

6.求所有函数 , 使得对任意 , 均有