2021韩国数学奥林匹克决赛平面几何题1

锐角⊿ABC中，外心为O，内心为I.过I作AI的垂线与AB、AC分别交于点D、E.过D作BI的平行线，过E作CI的平行线，两者交于F，设⊿DEF的外接圆⍵，其圆心为K.已知⍵与FI再次交于点P.求证：O、K、P共线.

证明：如图1，连接DK、EK、BI、CI.显然AD=AE,KE=KE.

于是A、D、K、E四点共圆，所以∠ADK=∠AEK =90º.

设AK与⊿ABC外接圆交于点Q.考虑点K对⊿ABC外接圆的幂：

圆半径，r为内切圆半径.

这说明OK=R-r,即⍵与⊿ABC外接圆相切.

如图2所示.连接DP、EP、BP、CP.

由F、D、P、E四点共圆有：

于是D、B、P、I四点共圆，同理I、P、C、E四点共圆.

于是∠BPC=∠BPI+∠CPI=∠ADI+∠AEI=180º-∠A.所以A、B、P、C四点共圆，即点P在⊿ABC外接圆上,又P在⍵上.即点P为⍵和⊿ABC外接圆的交点，由曼海姆定理知O、K、I三点共线,命题得证！

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