2021保加利亚数学奥林匹克 中文翻译

第一天

1.某城市有条南北向的道路, 以及条东西向的道路, 这些道路互相交叉, 形成了个路口. 这些路口将每个南北向道路分为段街道, 每个东西向道路分为段街道. 现在, 市长需要尽可能少的关闭一些路口, 使得城市中没有闭合回路. (即从任意一段街道出发,不回头的话, 无法经过若干个路口之后回到原来的位置).
证明: 恰有个路口被关闭.
证明: 如果四个角落的路口均没有被关闭, 且你可以从任意一个街道走到任意另一个街道, 则恰有条边界上的路口被关闭.(注: 边界指第一条或第四条南北向道路, 或者第一条或第条东西向道路)

2.锐角外心为, 在过点的高上取一点, 使. 若直线与边交于点, 证明: 中垂线, 过点的高, 直线三线共点.

3.求所有函数 ,使得对任意正实数, 均有

第二天

4.有两个无穷项的等差正整数列:

已知存在无穷多对正整数, 使得, 且.求证: 对任意正整数, 一定存在一个正整数, 使得.

5.平面上是否存在个点组成的集合, 使得中任意个点的重心仍为中的点?

6.在中, , 在为其外接圆上弧的中点.为其内心, 直线与再次相交于点. 已知为关于的对称点, 为边的中点, 过作的平行线与直线交于点.
求证: .