2021瑞士数学奥林匹克 -中文翻译

1.已知 是一对正整数,朱莉娅在她家后院里种了行列共 株蒲公英。现在，加娜和薇蔽安决定用一台割草机玩一个这样的游戏：加娜先开始，两人轮流操作，每次操作中操作者可以选择一行或一列，割掉其中所有蒲公英(至少割掉一株),割最后一株蒲公英者获胜.
求所有正整数对  ，使得加娜有必胜策略.

2.是一个锐角三角形，且，是边上一点，以为圆心且过点的圆与的外接圆相交于两点，其中是更靠近的那个点.直线交于,交于.
证明:四点共圆.

3.试求所有有限正整数集满足: , 且对 ,有

4.(暂未流出)

5.求对怎样的正整数 ，我们可以把 重排成一行，满足对任意 的整数 都有这一行正整数中前 个数之和被 整除.

6.设 是正整数集.函数 满足:

和

证明:对无穷多个 有

7. 是两个正整数， 弗里德收到了 张沃玛的海报，这些海报水平 长度为整数 ,坚直长度为整数 其中 且没有两张海报水平长 度、仅直长度同时相等。现在他必须在不旋转海报的前提下，将所有这些海报逐个张贴在他卧室的墙 壁上。每次张贴海报时，他可以选择一块空白墙面，也可以完全覆盖一张当前可 见的海报，并与其它可见的海报互不重叠. 求这些海报覆盖面积的是小值.

8. 中 是边 上点,满足 是边 上一点，满足 ,求 的度数。