相似三角形中的一线三等角背景中，充分利用一线三等角模型，利用边角之间的等量关系建立数量关系，如下图是常见的一线三等角模型的图形，最右图是点在延长线上的特殊情况：
在压轴题中，一线三等角模型常常存在于等腰三角形或等腰梯形中，通过三角形的外角性质的应用，找到另一组等角，证明相似，其边角之间的数量关系如下图证明。
特别地，当D为BC中点时，图中的三个三角形两两形似，即▲ABD∽▲CDE∽▲ADE，具体实例见问题2.
相似三角形中的对角相等模型中，往往在直角梯形背景下存在。通过做点E的垂线，构造相似三角形；通过延长AD、PE交于点M，构造X型基本图形，继而构造等腰三角形。
问题1：等边三角形中的一线三等角模型及相似三角形的分类讨论问题：
📌分析：本题是典型的一线三等角模型，通过▲BDE∽▲DFC，则可以列出与这两个相似三角形相关的比例式，通过合理设元，继而得到x、y的值，在此类题目中，选择合理的未知数是关键！第2问两个三角形相似，找到其中的一组等角，然后进行分类讨论，分为2种情况进行讨论，本题要充分利用正三角形的特征解答。问题2：等腰梯形中的一线三等角模型及等腰三角形的分类讨论问题：
📌分析：本题是一线三等角模型的特殊情况，由于M是BC中点，因此通过第一次A.A得到▲BEM∽▲CMF，再根据S.A.S，得到▲BEM∽▲EFM，因此图中的三个三角形两两相似。本题的第2问是常规的函数解析式问题，利用1问的相似中的比例线段得证，尤其要注意定义域的取值范围；第3问则是等腰三角形存在性的分类讨论问题，难点在于BM=EM的情况，可以利用共边共角型三角形的特征，也可以利用锐角三角比计算。直角梯形中的对角相等模型及相似三角形的分类讨论问题：
📌 分析：本题是与前两题相关的变式题。在梯形中常见的辅助线方法是做垂线，利用勾股定理求得相关线段的长度。本题的第2问难点在于构造X型基本图形，本题的思路在于出现等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一求解。第3问是相似三角形的分类讨论问题，发现等角∠DAP=∠EPC，再找到与∠C相等的角，分类讨论。
