高中物理电场中运动的四种常见思想解析
带电体在电场中的运动是“电场”一章中的重要问题之一。为了理顺关系，有的放矢地选择规律，清除学习上的障碍和思维盲点，对这类问题应掌握并灵活运用四种常见的解决问题的思想，即：力和运动、分解的思想、功能关系、等效的思想。
1. 力和运动的关系
带电体的运动情况取决于它的受力情况及初始状态，准确分析带电体的受力情况是解题的前提，通过受力分析可判断带电体的运动性质及运动轨迹，从力和运动的角度进行分析是解决带电体在电场中运动问题最基本的方法。
例1. 静电透镜是利用静电场使电子束会聚或发散的一种装置，其中某部分静电场的分布如图1所示，虚线表示这个静电场在xOy平面内的一簇等势线，等势线形状相对于Ox轴、Oy轴对称，等势线的电势沿x轴正向增加，且相邻两等势线的电势差相等。一个电子经过P点（其横坐标为
）时，速度与Ox轴平行。适当控制实验条件，使该电子通过电场区域时仅在Ox轴上方运动。在通过电场区域过程中，该电子沿y方向的分速度
随位置坐标x变化的示意图是下列图2中的那一个图：（ ）
图1
图2
解析：电场线处处与等势线垂直，题中电势沿x轴正方向增加，所以我们可以作出其中的一条电场线，在电场线上对称的取a、b两点，并将两处的场强沿x轴、y轴方向分解，如图3所示。分析可知，电子在x轴方向上始终加速，这样
之间运动时间多于
之间运动的时间。因此，电子的运动轨迹对O点不对称。
图3
电子在
之间，沿y轴方向向下作加速运动，经过y轴时
为零，
为零，但
为最大。在
之间，电子有竖直向下的速度
，却有向上的加速度，故在y轴方向向上作减速运动。综上所述，图线D正确。
例2. 在光滑水平面上有一质量
电荷量
的带正电小球，静止在O点，在该水平面内建直角坐标系
。现突然加一沿x轴正方向、场强大小为
的匀强电场，使小球开始运动，经过1.0s，所加电场突然变为沿y轴正方向，场强的大小仍为
的匀强电场，再经过1.0s，所加电场又突然变为另一个匀强电场，使小球在此电场作用下经
，速度变为零。求此电场的方向及速度变为零时小球的位置。
解析：由牛顿第二定律可知，在匀强电场中小球加速度的大小
，代入数据值得
；当场强沿x轴正方向时，经过1.0s小球的速度大小为
，速度的方向沿x轴的正向，小球在x轴方向移动的
；在第2s内，电场方向沿y轴正方向，故小球做类平抛运动：在x方向做速度为
的匀速运动，在y轴方向移动的距离
，故在第2s末小球到达的位置坐标
；在第2s末小球在x方向的分速度仍为
，在y方向的分速度
。
由上可知，此时运动方向与x轴成
角，要使小球的速度变为零，则在第3s内所加匀强电场的方向必须与此方向相反，即指向第三象限，与x轴成
角，在第3s内，设在电场作用下小球加速度的x方向的分量分别为
，则
，
，在第3s末小球到达的位置坐标为
2. 分解的思想
带电体在电场和重力场的复合场中，若其运动既非类平抛运动，又非圆周运动，而是一般的曲线运动，在处理这类较复杂问题时，妙用运动的分解思想，研究其两个分运动，可使问题得到快捷的解决。
例3. 试用分解法证明：平抛运动物体任意时刻速度偏向角的正切值是位移偏向角正切值的两倍。
解析：平抛运动可以看成是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动。如图4所示，以抛出点为原点，取水平方向为x轴，正方向与初速度
的方向相同；竖直方向为y轴，正方向向下；物体从O点水平抛出，经历时间t到达点P（x,y），位移为s，则有如下关系：
水平分速度
竖直分速度
t时刻平抛物体的速度大小和方向
图4
水平分位移
竖直分位移
，t时间内合位移的大小和方向：
所以有
，不难发现平抛运动具有以下两条规律：
规律一：平抛运动物体任意时刻速度偏向角的正切值是位移偏向角正切值的两倍。
规律二：平抛运动物体任意时刻速度的反向延长线必过水平位移的中点。
例4. （2004年北京理综卷25题）如图5是某种静电分选器的原理示意图。两个竖直放置的平行金属板带有等量异号电荷，形成匀强电场。分选器漏斗的出口与两板上端处于同一高度，到两板距离相等。混合在一起的a、b两种颗粒从漏斗出口下落时，a种颗粒带上正电，b种颗粒带上负电。经分选电场后，两种颗粒分别落到水平传送带A、B上。
图5
已知两板间距
，板的长度
，电场仅局限在平行板之间；各颗粒所带电量大小与其质量之比均为1
。设颗粒进入电场时的初速度为零，分选过程中颗粒大小及颗粒间的相互作用力不计。要求两种颗粒离开电场区域时，不接触到极板但有最大偏转量。重力加速度取
。
（1）左右两板各带何种电荷？两极板间的电压多大？
（2）若两带电平行板的下端距传送带A、B的高度
，颗粒落至传送带时的速度大小是多少？
（3）设颗粒每次与传送带碰撞反弹时，沿竖直方向的速度大小为碰撞前竖直方向速度大小的一半。写出颗粒第n次碰撞反弹高度的表达式。并求出经过多少次碰撞，颗粒反弹的高度小于0.01m.
解析：（1）左板带负电荷，右板带正电荷。
依题意，颗粒在平行板间的竖直方向上做自由落体运动，满足
（1）
在水平方向上做匀加速运动，满足
（2）
由（1）（2）解得
（2）根据动能定理，颗粒落到水平传送带时的速度满足
（3）
解得
（3）颗粒在竖直方向上做自由落体运动，它第一次落到水平传送带上沿竖直方向的速度
。
反弹高度
则第二次落地速度为
第n次落地速度为
第n次反弹速度为
。
则第n次反弹后上升的高度为
解得
时，
。
3. 功能关系
带电体在电场中运动的过程中伴随着做功和各种能量的转化，由于电场力做功与路径无关，这给动能定理和能量守恒定律提供了广阔的舞台，特别在曲线（有折返）运动中更能体现能量观点的优越性。
例5. 如图6所示，实线为匀强电场中的电场线。虚线为等势线，且相邻等势面间电势差相等。一正电荷在等势面A处的动能为10J，运动到等势面C处的动能为0。现取B等势面为零电势面，则当电荷的动能为3J时电势能为_______J。
图6
解析：依题设，正电荷在运动过程中，只有电场力做功，因此，电荷的动能跟电势能之和保持不变。由于AB间和BC间电势差相等，电场力做功相等，根据动能定理知，电荷的动能变化相等，故电荷在等势面B处的动能为5J，所以，此电荷的动能和电势能之和为
。故当电荷的动能为3J时电势能为2J。
例6. 一个质量为m，带有电荷
的小物体，可在水平轨道Ox上运动，O端有一与轨道垂直的固定墙。轨道处于匀强电场中，场强大小为E，方向沿Ox轴正方向，如图7所示，小物体以速度
从
点沿Ox轨道运动，运动时受到大小不变的摩擦力
作用，（
），设小物体与墙碰撞时不损失机械能，且电量保持不变，求它在停止运动前所通过的总路程s。
图7
解析：先分析小物体的运动过程，建立清晰的物理情景。设小物体的初速度
方向向右，因电场力qE、摩擦力
均向左，小物块做减速运动到速度为零；然后在电场力和摩擦力的合力
作用下向左加速运动；撞墙后折返又做减速运动……如此多次往复。因有摩擦力不断消耗机械能，最终必然停在O处，动能为零。
设小物块共走过路程为s，由动能定理得：
解得：
4. 等效的思想
处在匀强电场中的带电体除受到电场力外，一般还会受到重力等其他外力的作用。这类问题应用等效重力法，即将重力和电场力的合力看成一等效重力，然后运用类比法，通常都能较简捷地解决问题。运用等效的观点对物理过程进行分析，不仅便于我们对物理问题的解答，而且对于灵活运用知识，促进知识和能力的迁移，思维的拓展，都会有很大的帮助。
例7. 一条长L的细线上端固定在O点，下端系一个质量为m的小球，将它置于一个足够大的匀强电场中，场强为E，且水平向右。已知小球在C点时平衡，细线与竖直方向的夹角为
，如图8所示，求：
（1）当悬线与竖直方向的夹角
为多大时，才能使小球由静止释放后，细线到达竖直位置时，小球速度恰好为零？
（2）当细线与竖直方向成
角时，至少要给小球一个多大的冲量，才能使小球在竖直平面内做完整的圆周运动。
图8
解析：（1）由于小球是在重力场和匀强电场的复合场中运动，可以将重力场和电场的复合场等效为一个新的“重力场”（如图9），其等效重力加速度
。小球在C点平衡，则小球在复合场中的运动等效为一单摆，C点为振动的平衡位置。设A为一最大位移处，则另一最大位移处关于OC对称。由对称性得出结论：当细线与竖直方向的夹角为
时，才能使小球由静止释放后，细线到达竖直位置时，小球速度恰好为零。
图9
（2）细线系小球在复合场中做完整的圆周运动的条件与其在重力场中类似，只不过其等效“最高点”为D，“最低点”为C，等效重力加速度
（如图10）。
如图10
小球恰做圆周运动，有临界条件：
根据动能定理，有：
解得：
因此，给小球施加的冲量至少为
例8. 如图11所示，ab 是半径为R的圆的一条直径，该圆处于匀强电场中，场强大小为E，方向一定且与圆周在同一平面内，现在该平面内，将一带正电q的小球从a点以相同的初动能抛出，抛出方向不同时，小球会经过圆周上不同的点，在这些所有的点中，到达c点时小球的动能最大。已知
，若不计重力和空气阻力，试求：
（1）电场方向与ac间的夹角
为多大？
（2）若小球在a点时初速度与电场方向垂直，则小球恰好能落在c点，那么初动能为多大？
图11
解析：（1）我们可先退回到力学原型：如图12所示，在地面附近的某竖直平面内，从圆周的a点以相同的初动能抛出小球，抛出方向不同时，小球会经过圆周上不同的点，在这些所有的点中，到达圆周最低点d时小球的动能最大。最低点是过圆心O的竖直直径的一点。根据这一模型，我们将电场等效为重力场，那么小球也应该是“最低点”时速度最大，所以过圆心O作一条过c点的直径，这就是电场的方向，如图13所示，因此
。
图12 图13
（2）小球做类平抛运动，由平抛运动知识可得：
而
解得：
。