八下13讲 相似基本模型1 —— A型，X型及变式

写在前面

图形的相似是初中几何的重要内容，其综合性强，证明难度高，常出现在中考压轴题中，因此，从本讲开始，计划以一个系列的内容，介绍其中的一些基本模型与解题方法．

一、模型建立

1

2

二、模型讲解

A型和X型，来源于一个基本事实：

两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．

这是平行线分线段成比例定理．

如图，已知AD∥BE∥CF，

值得注意的是，

平行线分线段成比例定理强调的是

对应线段成比例．与AD，BE，CF无关．

但A型，X型是三角形，

强调的是对应边成比例．

反A型和反X型，则不再有边平行的条件，

而是通过公共角与一对角等，或对顶角与一对角等，得出的相似．

三、实战分析

(1)看清对应边

分析：

这都是简单题，但却很容易错，切记A型是三角形，相似比是对应边之比．

解答：

例1：      2：3

变式1：  12，2：5

变式2：   C

(2)注意有多解

例2：

在△ABC中，AB＝8，AC＝6，D在AC上，且AD＝2，若要在AB上找一点E，使△ADE与原三角形相似，则AE＝______

变式1：

如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是______．

分析：

两道题目中并未出现∽符号，则说明字母间并未确定对应关系，因此有多种可能，这里由于∠A是公共角，显然是A型或者反A型．

解答：

变式2：

如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒(0≤t＜6)，连接DE，当△BDE是直角三角形时，求t的值．

分析：

本题也是一个动点问题，但要看清整个运动路径，是从点A出发，向B运动，是一个往返运动，另外，由∠A＝60°，BC＝2cm，AB＝4cm，6s运动停止，则从A到B返回运动到AB中点结束．

解答：

由题意得，∠A＝30°，AB＝2BC＝4cm，

(3)会二次相似

例3：

如图，已知△ABC中，CE⊥AB于E，BF⊥AC于F，求证：△AEF∽△ACB．

分析：

本题若直接求证△AEF∽△ACB，十分困难，因为只有∠A作为公共角一个条件，那该如何分析呢？由于BF，CE是△ABC的两高，所以可先△ABF∽△ACE，得到边对应成比例，注意，∠A必然为夹角．同时，再证△AEF∽△ACB时，边之比要作转化．

解答：

变式：

如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接DE并延长交BC的延长线于点F，连接DC、BE．若∠BDE＋∠BCE＝180°．

(1)写出图中所有的相似三角形．(注意：不得添加字母和线)；

(2)求证：△DCF∽△BEF．

分析：

本题属于四边形对角互补模型，由邻补角互补，可转化为反A型证相似，再利用对应边成比例作转化，可证二次相似．

解答：

例4：

如图，已知∠C＝90°，四边形CDEF是正方形，AC＝15，BC＝10，AF与ED交于点G．则EG的长为______

分析：

本题中，正方形内嵌于直角三角形，必然有基本模型A型，再根据AF与ED相交，必然产生了X型，利用对应边成比例建立方程即可．

解答：

END

本讲思考题