2021美国区域数学挑战赛(ARML) 个人赛 中文翻译

个人赛

1.一个凸边形中, 各角的度数之和恰好比对角线个数多. 求的值.

2.对正整数 , 若十进制数在进制下的末尾数字为, 就称是一个好数. 求所有好数的个数.

3.一个微波发生器收到了三个输入信号, , , 不全为. 随后微波发生器运行秒. 计算使得微波发生器恰运行秒的正整数的个数.

4.等边八边形的边长为, 锐角的正切值为.已知在的内角中,度数为的内角与 的内角依次交替出现,计算的面积.

5.一叠纸牌由张紫色牌和张橘色牌构成. 扎克从中随机抽取了张牌. 如果这张牌全是橘色的, 扎克会把他们放回牌堆,洗牌,然后再重新随机抽取三张, 直到他抽到的牌中至少有一张为紫色的为止.
此后, 扎克从牌堆剩余的张牌中再抽取一张. 求这张牌为紫色的概率.

6.中, , , . 其外心为, 的外接圆与直线再次交于点, 求的长.

7.设数列表示单调递增的只含有数字的正整数列. 且所有含有数字的正整数的正整数都在该数列中. 求.

8.对函数, 定义, 且对 ,
对个定义域和值域均为集合的函数,计算满足 对任意 成立的函数的个数.

9.求最大的正整数, 使得它恰为两个由四个非零数字所组成的互异集合的最小公倍数.

10.计算满足以下条件的有序整数对 的个数:
, , 且